En matemáticas, y en particular en álgebra abstracta, una acción de un grupo ${\displaystyle (G,*)}$ sobre un conjunto ${\displaystyle X}$ es una aplicación ${\displaystyle \phi :G\times X\to X}$ que cumple las dos condiciones siguientes:^[1]​

1. ${\displaystyle \forall x\in X:\ \phi (e,x)=x}$, donde ${\displaystyle e}$ es el elemento neutro del grupo.
2. ${\displaystyle \forall x\in X:\,g,h\in G,\ \phi (g*h,x)=\phi (g,\phi (h,x))}$.

En tal caso se dice que el grupo ${\displaystyle G}$ actúa sobre ${\displaystyle X}$, y que el conjunto ${\displaystyle X}$ es un ${\displaystyle G}$-conjunto.^[2]​

Las dos condiciones anteriores equivalen a que, para cada elemento ${\displaystyle g}$ de ${\displaystyle G}$, la aplicación ${\displaystyle \phi _{g}=\phi (g,\cdot ):X\to X}$ es una función biyectiva definida sobre ${\displaystyle X}$. En consecuencia, una definición alternativa es que una acción es un homomorfismo entre el grupo ${\displaystyle G}$ y el grupo ${\displaystyle S_{X}}$

${\displaystyle \theta :G\to S_{X}\ :g\mapsto \phi _{g}}$.

donde ${\displaystyle S_{X}}$ denota el grupo formado por todas las funciones biyectivas de ${\displaystyle X}$ en sí mismo, bajo la operación de composición de funciones, denominado grupo simétrico de ${\displaystyle X}$. Se dice que el homomorfismo ${\displaystyle \theta }$ es una representación del grupo ${\displaystyle G}$ por permutación.^[3]​

Otra notación utilizada para las acciones es ${\displaystyle (g,x)\mapsto g\cdot x}$. Así los axiomas de acción se reescriben:

• ${\displaystyle e\cdot x=x}$.
• ${\displaystyle (gh)\cdot x=g\cdot (h\cdot x)}$.

Es frecuente denominar puntos a los elementos del conjunto ${\displaystyle X}$, para no causar confusión con los elementos del grupo ${\displaystyle G}$.

El ejemplo más sencillo es la acción trivial: para cualquier ${\displaystyle g\in G}$ y ${\displaystyle x\in X}$, ${\displaystyle \phi (g,x)=x}$. Cuando la acción es trivial, cada biyección ${\displaystyle \phi _{g}}$ es la aplicación identidad del conjunto ${\displaystyle X}$, que lleva cada elemento en sí mismo.

El grupo de tres elementos ${\displaystyle \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} =\{0,1,2\}}$ actúa sobre el plano complejo ${\displaystyle \mathbb {C} }$ de la siguiente manera:

• ${\displaystyle \phi (0,z)=z}$.
• ${\displaystyle \phi (1,z)=wz}$.
• ${\displaystyle \phi (2,z)=w^{2}z}$.

donde ${\displaystyle w}$ es una raíz cúbica de la unidad distinta de 1 (si tomáramos la raíz ${\displaystyle w=1}$ la acción sería trivial). Geométricamente, esta acción representa rotaciones del plano complejo respecto del origen, con ángulos de 0, 120 y 240 grados.

Un tipo importante de acción es aquella en la que ${\displaystyle X}$ es un espacio vectorial. Este tipo de acciones son el punto de partida de la teoría de la representación.

Se define el núcleo de una acción ${\displaystyle \phi :G\times X\to X}$ como el conjunto de todos los elementos del grupo ${\displaystyle G}$ que actúan trivialmente sobre todo punto de ${\displaystyle X}$:^[4]​

${\displaystyle ker\ \phi =\{g\in G\ |\ g\cdot x=x,\ \forall x\in X\}}$.

Para cada elemento ${\displaystyle g}$ del núcleo, la biyección asociada ${\displaystyle \phi _{g}}$ es la identidad de ${\displaystyle X}$. Es por tanto el núcleo del homomorfismo ${\displaystyle \theta :G\to S(X)}$, y como tal es un subgrupo normal del ${\displaystyle G}$.

En contraste, se denominan puntos fijos de la acción a los elementos de ${\displaystyle X}$ sobre los que todos los elemento de ${\displaystyle G}$ actúan trivialmente, es decir:

${\displaystyle x\in X}$ es un punto fijo si ${\displaystyle g\cdot x=x}$ para todo ${\displaystyle g\in G}$.

Para cada elemento ${\displaystyle x}$ de un conjunto ${\displaystyle X}$ sobre el que actúa un grupo ${\displaystyle G}$, podemos definir dos subconjuntos de interés.^[5]​

El estabilizador de un punto ${\displaystyle x\in X}$ se compone de todos los elementos de ${\displaystyle G}$ que actúan trivialmente sobre ${\displaystyle x}$

${\displaystyle G_{x}=\{g\in G\ |\ g\cdot x=x\}\subset G}$.

Otra forma de expresarlo es que contiene a los elementos del grupo que dejan fijo ${\displaystyle x}$. En consecuencia, cuando ${\displaystyle x}$ es un punto fijo su estabilizador es todo el grupo: ${\displaystyle G_{x}=G}$. El núcleo de la acción es precisamente la intersección de los estabilizadores de todos los puntos de ${\displaystyle X}$:

${\displaystyle ker\ \phi =\cap _{x\in X}\ G_{x}}$.

${\displaystyle G_{x}}$ es un subgrupo de ${\displaystyle G}$, no necesariamente normal. También es llamado subgrupo de isotropía de ${\displaystyle x}$.^[6]​

La órbita de ${\displaystyle x}$ se compone de todos los elementos de ${\displaystyle X}$ que son imagen de ${\displaystyle x}$ por la acción de algún elemento de ${\displaystyle G}$:^[7]​

${\displaystyle O_{x}=\{y\in X\ |\ \exists g\in G:\ g\cdot x=y\}\subset X}$.

La órbita de ${\displaystyle x}$ contiene a los elementos del conjunto ${\displaystyle X}$ que se alcanzan desde ${\displaystyle x}$ por la acción de ${\displaystyle G}$. Cuando ${\displaystyle x}$ es un punto fijo de la acción, su órbita se reduce al propio ${\displaystyle x}$, esto es: ${\displaystyle O_{x}=\{x\}}$, y viceversa.

La relación «y pertenece a la órbita de x» es reflexiva, simétrica y transitiva, y por lo tanto es una relación de equivalencia. Por consiguiente, las órbitas bajo la acción de ${\displaystyle G}$ forman una partición del conjunto ${\displaystyle X}$, lo que significa que las órbitas de dos elementos distintos o bien coinciden, o bien son disjuntas.

Dado un punto arbitrario ${\displaystyle x\in X}$, existe una biyección entre su órbita y las clases laterales derechas (o izquierdas) en ${\displaystyle G}$ de su estabilizador ${\displaystyle G_{x}}$, es decir

${\displaystyle O_{x}\leftrightarrow G/G_{x}}$.^{[nota 1]}​

En particular, si ${\displaystyle G_{x}}$ es un subgrupo de índice finito en ${\displaystyle G}$, la órbita de ${\displaystyle x}$ es un conjunto finito y su cardinalidad es

${\displaystyle |O_{x}|=[G:G_{x}]}$.^[8]​

Dos puntos de una misma órbita tienen estabilizadores conjugados por el elemento que lleva un punto en el otro:

Si ${\displaystyle y\in O_{x}}$ entonces ${\displaystyle G_{y}=gG_{x}g^{-1}\,}$, donde ${\displaystyle \ g\cdot x=y}$.

Lo anterior se deriva de que si ${\displaystyle h}$ es un elemento que deja fijo el punto ${\displaystyle x}$, entonces

${\displaystyle ghg^{-1}\cdot y=gh\cdot x=g\cdot x=y}$.

• Una acción se llama transitiva, o se dice que el grupo actúa transitivamente sobre un conjunto ${\displaystyle X}$, si dados dos elementos ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ cualesquiera de ${\displaystyle X}$, existe un elemento ${\displaystyle g}$ del grupo que aplica ${\displaystyle x}$ en ${\displaystyle y}$, es decir:

${\displaystyle \forall x,y\in X\ \implies \ \exists g\in G:\phi (g,x)=y}$.^[9]​

Cuando la acción de un grupo ${\displaystyle G}$ es transitiva sobre un espacio topológico ${\displaystyle X}$ se dice que éste es un espacio homogéneo para el grupo ${\displaystyle G}$.^[10]​

• Una acción se llama n-transitiva si dadas dos ${\displaystyle n}$-tuplas de elementos del conjunto ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \langle x_{1},...,x_{n}\rangle }$ e ${\displaystyle \langle y_{1},...,y_{n}\rangle }$ diferentes dos a dos (esto es, ${\displaystyle x_{i}\neq x_{j}}$ e ${\displaystyle y_{i}\neq y_{j}}$ para todo ${\displaystyle i\neq j}$), existe un elemento ${\displaystyle g}$ del grupo que aplica ${\displaystyle x_{i}}$ en ${\displaystyle y_{i}}$ para cada ${\displaystyle i=1,...,n}$. Las acciones 2-transitivas se denominan también acciones doblemente transitivas, las 3-transitivas triplemente transitivas, etc.

• Una acción doblemente transitiva satisface la siguiente definición equivalente: una acción es doblemente transitiva si dado cualquier punto ${\displaystyle x\in X}$, el estabilizador ${\displaystyle G_{x}}$ actúa transitivamente sobre los puntos restantes (es decir, es transitiva sobre ${\displaystyle X\setminus \{x\}}$).^[11]​

• Una acción es fiel o efectiva si el núcleo de la acción es trivial, es decir, el elemento identidad de ${\displaystyle G}$ es el único que actúa trivialmente sobre todo punto de ${\displaystyle X}$. Esta condición es equivalente a que el homomorfismo ${\displaystyle \theta :G\to S_{X}}$ sea inyectivo, y por tanto cada biyección ${\displaystyle \phi _{g}}$ sea distinta.^[12]​

• Una acción es libre, o se dice que el grupo actúa libremente, si el único elemento de ${\displaystyle G}$ con puntos fijos es la identidad, es decir

${\displaystyle \exists x\in X:g\cdot x=x\implies g=1_{G}}$ (donde ${\displaystyle 1_{G}}$ denota la identidad de ${\displaystyle G}$).

Cuando el conjunto sobre el que actúa un grupo ${\displaystyle G}$ es el propio grupo, es decir ${\displaystyle X=G}$, entonces se dice que el grupo actúa sobre sí mismo. Las dos maneras más interesantes en las cuales un grupo puede actuar sobre sí mismo son por multiplicación y por conjugación.

Todo grupo ${\displaystyle G}$ actúa sobre sí mismo por multiplicación^{[nota 2]}​ por la izquierda (respectivamente, por la derecha) mediante la acción definida por^[13]​

${\displaystyle \varphi :G\times G\to G\ :\ (g,h)\mapsto gh}$ (respectivamente ${\displaystyle (g,h)\mapsto hg}$).

Esta acción es fiel (de hecho, el estabilizador de todo punto es trivial), transitiva, y existe una única órbita que abarca todo ${\displaystyle G}$. Las acciones de multiplicación por la izquierda y multiplicación por la derecha coinciden precisamente cuando el grupo ${\displaystyle G}$ es abeliano.

El hecho de que para todo grupo la acción por multiplicación sea fiel, significa que el homomorfismo

${\displaystyle \theta :G\to S_{G}}$

es inyectivo. Por el primer teorema de isomorfía, esto significa que el grupo ${\displaystyle G}$ es isomorfo a un subgrupo de su propio grupo simétrico. En particular, si ${\displaystyle G}$ es finito de orden ${\displaystyle n}$, entonces es isomorfo a un subgrupo del grupo de permutaciones de n elementos, ${\displaystyle S_{n}}$. Este resultado se conoce con el nombre de teorema de Cayley.^[14]​

Por otro lado, todo grupo ${\displaystyle G}$ actúa sobre sí mismo por conjugación mediante la acción definida por^[15]​

${\displaystyle \varphi :G\times G\to G\ :\ (g,h)\mapsto ghg^{-1}}$.

El estabilizador de cada punto ${\displaystyle g}$ está formado por los elementos de ${\displaystyle G}$ que conmutan con ${\displaystyle g}$, es decir, el centralizador de ${\displaystyle g}$:

${\displaystyle G_{x}=C_{G}(x)}$

Cuando el grupo es abeliano la acción del grupo en sí mismo por conjugación es trivial. Nótese que entonces

${\displaystyle \forall g,\ h\in G:\ ghg^{-1}=gg^{-1}h=h}$.

Las órbitas bajo esta acción se denominan clases de conjugación. Los elementos del centro del grupo (formado por aquellos elementos que conmutan con cualquier otro, denotado por ${\displaystyle Z(G)}$) forman cada uno de ellos una clase unipuntual (i.e. son puntos fijos). El recíproco también es cierto, es decir, si la clase de conjugación de un elemento ${\displaystyle g}$ solo contiene a ese elemento entonces ${\displaystyle g}$ pertenece al centro de ${\displaystyle G}$, esto es:

${\displaystyle x\in Z(G)\iff O_{x}=\{x\}}$.

La acción por conjugación de un grupo en sí mismo permite obtener la descomposición orbital de grupos finitos:

${\displaystyle G=\bigcup _{i\in I}{\mathcal {K}}_{i}}$

que es la unión disjunta de todas las clases de conjugación ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}}$. En consecuencia

${\displaystyle |G|=\sum _{i\in I}|{\mathcal {K}}_{i}|}$

Por un lado distinguimos los elementos del centro, cada uno en su propia clase unitaria, y por otro el resto de clases:

• De las primeras hay una clase por cada elemento del centro, y cada una tiene cardinalidad 1.
• Para el resto de clases de conjugación, si ${\displaystyle g_{i}}$ es un representante de la clase ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}}$ se tiene que

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}=O_{g_{i}}\implies |{\mathcal {K}}_{i}|=[G:G_{g_{i}}]=[G:C_{G}(g_{i})]}$.

Uniendo ambos resultados se obtiene la ecuación de clases para el orden de ${\displaystyle G}$:^[16]​

${\displaystyle |G|=|Z(G)|+\sum _{i=1}^{r}[G:C_{G}(g_{i})]}$

donde ${\displaystyle g_{1},...,g_{r}}$ es un conjunto de representantes de cada una de las clases de conjugación no contenidas en el centro de ${\displaystyle G}$. La ecuación de clases permite derivar algunos resultados para los grupos finitos como el teorema de Cauchy y los teoremas de Sylow.

1. ↑ Aquí se debe entender el símbolo ${\displaystyle /}$ como el conjunto cociente de ${\displaystyle G}$ bajo la relación de equivalencia determinada por las clases laterales, bien sean derechas o izquierdas, pues no se puede asegurar que ${\displaystyle G_{x}}$ sea un subgrupo normal.
2. ↑ Aunque es habitual utilizar la palabra multiplicación o producto, en realidad se hace referencia a la operación del grupo, sea cual sea.

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