f = FullSimplify[
   FourierTransform[
    E^(-(\[Omega] - \[Omega]0)^2/(2 \[Sigma]^2))
      E^(-I \[Omega]^2/v x), \[Omega], t], 
   Assumptions -> {\[Sigma] > 0}];
p1 = Table[
   Show[
    Plot[Re[f] /. {\[Omega]0 -> 1, v -> 2, \[Sigma] -> 0.2}, {x, -5, 
      200}, PlotRange -> {-0.2, 0.2}, PlotStyle -> {Orange, Thick}]
    ,
    Plot[{Abs[f], -Abs[f]} /. {\[Omega]0 -> 1, 
       v -> 2, \[Sigma] -> 0.2}, {x, -5, 200}, 
     PlotRange -> {-0.2, 0.2}, PlotStyle -> {Black, Black}]
    , Axes -> False
    ]
   , {t, 0, 100, 0.5}];
ListAnimate[p1]

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