Un arco máximo en un plano proyectivo finito es el mayor (k,d)-arco posible en ese plano proyectivo. Si el plano proyectivo finito tiene orden q (hay q+1 puntos en cualquier línea), entonces, para un arco máximo, k, el número de puntos del arco, es el máximo posible (= qd + d - q) con la propiedad de que ningún subconjunto de d+1 puntos del arco se encuentra en la misma línea.

Sea ${\displaystyle \pi }$ un plano proyectivo finito de orden q (no necesariamente desarguesiano). Los arcos máximos de grado d ( 2 ≤ d ≤ q- 1) son (k,d)-arcos en ${\displaystyle \pi }$, donde k es el valor máximo con respecto al parámetro d, es decir, k = qd + d - q.

De manera equivalente, se pueden definir arcos máximos de grado d en ${\displaystyle \pi }$ como conjuntos de K puntos no vacíos, de modo que cada línea interseque el conjunto en 0 o en d puntos.

Algunos autores permiten que el grado de un arco máximo sea 1, q o incluso q+ 1.^[1]​ Se establece que K es un (k, d)-arco máximo en un plano proyectivo de orden q, si

• d = 1, K es un punto del plano,
• d = q, K es el complemento de una línea (un plano afín de orden q), y
• d = q + 1, K es todo el plano proyectivo.

Todos estos casos se consideran ejemplos triviales de arcos máximos, que existen en cualquier tipo de plano proyectivo para cualquier valor de q. Cuando 2 ≤ d ≤ q- 1, el arco máximo se llama no trivial, y la definición dada anteriormente y las propiedades enumeradas a continuación se refieren a arcos máximos no triviales.

• El número de líneas que pasan por un punto fijo p, no en un arco máximo K, que intersecan a K en d puntos, es igual a ${\displaystyle (q+1)-{\frac {q}{d}}}$. Por tanto, d divide a q.
• En el caso especial de d = 2, los arcos máximos se conocen como hiperóvalos y solo pueden existir si q es par.
• Un arco K que tiene un punto menos que un arco máximo siempre puede extenderse de manera única a un arco máximo agregando a K el punto en el que todas las líneas que se encuentran con K en (d - 1) puntos se encuentran.^[2]​
• En PG(2,q) con q impar, no existen arcos máximos no triviales.^[3]​
• En PG(2,2^h), existen arcos máximos para cada grado 2^t, 1 ≤ t ≤ h.^[4]​

Se pueden construir geometrías parciales a partir de arcos máximos:^[5]​

• Sea K un arco máximo con grado d. Considérese la estructura de incidencia ${\displaystyle S(K)=(P,B,I)}$, donde P contiene todos los puntos del plano proyectivo que no están en K, B contiene todas las líneas del plano proyectivo que cruzan a K en d puntos y la incidencia I es la inclusión natural. Esta es una geometría parcial: ${\displaystyle pg(q-d,q-{\frac {q}{d}},q-{\frac {q}{d}}-d+1)}$.
• Considérese el espacio ${\displaystyle PG(3,2^{h})(h\geq 1)}$ y sea K un arco máximo de grado ${\displaystyle d=2^{s}(1\leq s\leq m)}$ en un subespacio bidimensional ${\displaystyle \pi }$. Considérese también una estructura de incidencia ${\displaystyle T_{2}^{*}(K)=(P,B,I)}$ donde P contiene todos los puntos que no están en ${\displaystyle \pi }$, B contiene todas las líneas que no están en ${\displaystyle \pi }$ y que intersecan a ${\displaystyle \pi }$ en un punto en K, e I es de nuevo la inclusión natural. ${\displaystyle T_{2}^{*}(K)}$ es nuevamente una geometría parcial: ${\displaystyle pg(2^{h}-1,(2^{h}+1)(2^{m}-1),2^{m}-1)\,}$.

• Ball, S.; Blokhuis, A.; Mazzocca, F. (1997), «Maximal arcs in Desarguesian planes of odd order do not exist», Combinatorica 17: 31-41, MR 1466573, Zbl 0880.51003, doi:10.1007/bf01196129 .
• Denniston, R. H. F. (April 1969), «Some maximal arcs in finite projective planes», Journal of Combinatorial Theory 6 (3): 317-319, MR 239991, Zbl 0167.49106, doi:10.1016/s0021-9800(69)80095-5 .
• Hirschfeld, J. W. P. (1979), Projective Geometries over Finite Fields, New York: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853526-3 .
• Mathon, Rudolf (2002), «New maximal arcs in Desarguesian planes», Journal of Combinatorial Theory, Series A 97 (2): 353-368, MR 1883870, Zbl 1010.51009, doi:10.1006/jcta.2001.3218 .
• Thas, J. A. (1974), «Construction of maximal arcs and partial geometries», Geometriae Dedicata 3: 61-64, MR 349437, Zbl 0285.50018, doi:10.1007/bf00181361 .