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Las constantes Du Bois Reymond, (Paul David Gustav)
están definidas por
![{\displaystyle C_{n}\equiv \int _{0}^{\infty }\left|{{d \over dt}\left({\operatorname {sen} t \over t}\right)^{n}}\right|\,dt-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07fec6bf88765d574dff0ef3ddd9d44876ffad9b)
Estas constantes pueden también escribirse como:
![{\displaystyle C_{n}=2\sum _{k=1}^{\infty }(1+x_{k}^{2})^{(-n/2)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/436ef63cf2a2ec7234a8fad85cc16abe663a5cee)
donde
es la k-ésima raíz de
![{\displaystyle t=\tan(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e92164a3e82ac8aeffe6e3883704fa962a89cb0)
Además tenemos la siguiente serie
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over x_{k}^{2}}={1 \over 10}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02d456dec545a39d23d75eb532c3932cb67ed738)
En el siguiente gráfico se ve la representación de la función
![{\displaystyle \left|{{d \over dt}\left({\operatorname {sen} t \over t}\right)^{n}}\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed826675de3e20091fbb137265d2ac1a9ca61cec)
para los primeros cuatro valores de
La integración numérica de esta función es difícil. Los cuatro primeros valores de estas constantes son:
diverge
Las constantes pares de Bois Reymond pueden ser calculadas analíticamente como polinomios en
.
![{\displaystyle C_{2}={1 \over 2}(e^{2}-7)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67973c18719cb843061135744e7da27a894e9561)
![{\displaystyle C_{4}={1 \over 8}(e^{4}-4e^{2}-25)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ebf24feaa7dabb0c781f380c32fcf34a6bbd6e5)