En geometría, las coordenadas curvilíneas son sistemas de referencia utilizados en el espacio euclídeo, en los que las líneas que definen las coordenadas pueden ser curvas. Estas coordenadas se pueden obtener a partir de un conjunto de coordenadas cartesianas mediante el uso de transformaciones que son localmente invertibles (aplicaciones uno a uno) en cada punto. Esto significa que se puede convertir un punto dado en un sistema de coordenadas cartesiano a sus coordenadas curvilíneas y viceversa. El nombre de coordenadas curvilíneas, acuñado por el matemático francés Gabriel Lamé (1795-1870), deriva del hecho de que las líneas de referencia de estos sistemas son curvas.

Ejemplos bien conocidos de sistemas de coordenadas curvilíneas en el espacio euclídeo tridimensional (R³) son las coordenadas cilíndricas y las esféricas. Un ejemplo de superficie definida en coordenadas cartesianas en este espacio es un plano coordenado, de manera que cuando (z = 0), se define el plano (x-y). En el mismo espacio, la superficie de coordenadas (r = 1) en coordenadas esféricas es la superficie de una esfera unitaria, que es una superficie curva. La formalización de los sistemas de coordenadas curvilíneas proporciona una descripción general y unificada de los distintos sistemas de referencia.

Las coordenadas curvilíneas se utilizan a menudo para definir la ubicación o la distribución de cantidades físicas que pueden ser, por ejemplo, escalares, vectores o tensores. Las expresiones matemáticas que involucran estas cantidades en el cálculo vectorial y en el cálculo tensorial (como el gradiente, la divergencia, el rotacional y o el laplaciano) se pueden transformar de un sistema de coordenadas a otro, de acuerdo con las reglas de transformación para escalares, vectores y tensores. Estas expresiones se vuelven válidas para cualquier sistema de coordenadas curvilíneo.

Un sistema de coordenadas curvilíneo puede ser más sencillo de utilizar que el sistema de coordenadas cartesiano para algunas aplicaciones. El movimiento de partículas bajo la influencia de una fuerza central suele ser más fácil de resolver en coordenadas esféricas que en coordenadas cartesianas, lo que también es cierto para muchos problemas físicos con simetría esférica definidos en R³. Las ecuaciones con condiciones de contorno que siguen superficies de coordenadas para un sistema de coordenadas curvilíneo particular pueden ser más fáciles de resolver en ese sistema. Si bien se podría describir el movimiento de una partícula en una caja rectangular usando coordenadas cartesianas, es más fácil describir el movimiento sobre una esfera con coordenadas esféricas. Las coordenadas esféricas son los sistemas de coordenadas curvilíneas más comunes y se utilizan en ciencias de la Tierra, cartografía, mecánica cuántica, teoría de la relatividad e ingeniería.

Por ahora, se considera el espacio tridimensional. Un punto P en el espacio 3-D (o su posición r) se puede definir usando coordenadas cartesianas (x, y, z) [escrito de manera equivalente (x¹, x², x³)], por ${\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {e} _{x}+y\mathbf {e} _{y}+z\mathbf {e} _{z}}$, donde e_x, e_y, e_z son los vectores de la base canónica.

También puede definirse por sus coordenadas curvilíneas (q¹, q², q³) si este triplete de números define un único punto de forma inequívoca. La relación entre las coordenadas viene dada por las funciones de transformación reversibles:

${\displaystyle x=f^{1}(q^{1},q^{2},q^{3}),\,y=f^{2}(q^{1},q^{2},q^{3}),\,z=f^{3}(q^{1},q^{2},q^{3})}$

${\displaystyle q^{1}=g^{1}(x,y,z),\,q^{2}=g^{2}(x,y,z),\,q^{3}=g^{3}(x,y,z)}$

Las superficies q¹ = constante, q² = constante, q³ = constante se denominan superficies de coordenadas; y las curvas espaciales formadas por su intersección dos a dos se denominan curvas de coordenadas. Los ejes de coordenadas están determinados por las tangentes a las curvas de coordenadas en la intersección de tres superficies. En general, no son direcciones fijas en el espacio, como ocurre con las coordenadas cartesianas simples y, por lo tanto, generalmente no existe una base global natural para las coordenadas curvilíneas.

En el sistema cartesiano, los vectores de una base estándar se pueden deducir de la derivada de la ubicación del punto P con respecto a la coordenada local

${\displaystyle \mathbf {e} _{x}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}};\;\mathbf {e} _{y}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}};\;\mathbf {e} _{z}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial z}}.}$

Aplicando las mismas derivadas al sistema curvilíneo localmente en el punto P se definen los vectores de la base natural:

${\displaystyle \mathbf {h} _{1}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}};\;\mathbf {h} _{2}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}};\;\mathbf {h} _{3}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{3}}}.}$

Una base de este tipo, cuyos vectores cambian su dirección y/o magnitud de un punto a otro, se denomina base local. Todas las bases asociadas con coordenadas curvilíneas son necesariamente locales. Los vectores de la base que son iguales en todos los puntos son bases globales y solo pueden asociarse con sistemas de coordenadas lineales o afines.

Para este artículo, la notación e está reservada para la base canónica (cartesiana) y h o b se asignan a las bases curvilíneas.

Es posible que no tengan longitud unidad y que tampoco sean ortogonales. En el caso de que sean ortogonales en todos los puntos donde las derivadas están bien definidas, se definen los coeficientes de Lamé (en referencia a Gabriel Lamé) por

${\displaystyle h_{1}=|\mathbf {h} _{1}|;\;h_{2}=|\mathbf {h} _{2}|;\;h_{3}=|\mathbf {h} _{3}|}$

y los vectores de una base ortonormal curvilínea por

${\displaystyle \mathbf {b} _{1}={\dfrac {\mathbf {h} _{1}}{h_{1}}};\;\mathbf {b} _{2}={\dfrac {\mathbf {h} _{2}}{h_{2}}};\;\mathbf {b} _{3}={\dfrac {\mathbf {h} _{3}}{h_{3}}}.}$

Estos vectores de la base también pueden depender de la posición de P; y por lo tanto, es necesario que no se suponga que son constantes en una región (técnicamente, forman una base para fibrados tangentes de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ en P y, por lo tanto, son locales para cada punto P).

En general, las coordenadas curvilíneas permiten que los vectores de la base natural h_i no sean todos mutuamente perpendiculares entre sí, y no es necesario que sean de longitud unidad: pueden ser de magnitud y dirección arbitrarias. Pero el uso de una base ortogonal hace que las manipulaciones vectoriales sean más simples que en el caso de las bases no ortogonales. Sin embargo, algunas áreas de la física y de la ingeniería, particularmente la mecánica de fluidos y la mecánica de medios continuos, requieren bases no ortogonales para describir deformaciones y transporte de fluidos, con el fin de tener en cuenta complejas dependencias direccionales de cantidades físicas. Una discusión del caso general aparece más adelante en esta página.

En coordenadas curvilíneas ortogonales, dado que el cambio diferencial total en r es

${\displaystyle d\mathbf {r} ={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}}dq^{1}+{\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}}dq^{2}+{\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{3}}}dq^{3}=h_{1}dq^{1}\mathbf {b} _{1}+h_{2}dq^{2}\mathbf {b} _{2}+h_{3}dq^{3}\mathbf {b} _{3}}$

entonces los factores de escala son ${\displaystyle h_{i}=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\right|}$

En coordenadas no ortogonales, la longitud de ${\displaystyle d\mathbf {r} =dq^{1}\mathbf {h} _{1}+dq^{2}\mathbf {h} _{2}+dq^{3}\mathbf {h} _{3}}$ es la raíz cuadrada positiva de ${\displaystyle d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} =dq^{i}dq^{j}\mathbf {h} _{i}\cdot \mathbf {h} _{j}}$ (según el convenio de suma de Einstein). Los seis productos escalares independientes g_ij=h_i.h_j de los vectores de la base natural generalizan los tres factores de escala definidos anteriormente para coordenadas ortogonales. Los nueve g_ij son las componentes del tensor métrico, que tiene solo tres componentes distintas de cero en coordenadas ortogonales: g₁₁=h₁h₁, g ₂₂=h₂h₂, g₃₃=h₃h₃.

Los gradientes espaciales, las distancias, las derivadas respecto al tiempo y los factores de escala están interrelacionados dentro de un sistema de coordenadas mediante dos grupos de vectores de una base:

1. Vectores de una base que son localmente tangentes a su línea de coordenadas asociada:

${\displaystyle \mathbf {b} _{i}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}}$ son vectores contravariantes (indicados por subíndices), y

1. Vectores de una base que son localmente normales a la isosuperficie creada por las otras coordenadas:

${\displaystyle \mathbf {b} ^{i}=\nabla q^{i}}$ son vectores covariantes (indicados por superíndices), donde ∇ es el operador nabla.

Téngase en cuenta que, debido a la convención de la suma de Einstein, la posición de los índices de los vectores es opuesta a la de las coordenadas.

En consecuencia, un sistema de coordenadas curvilíneo general tiene dos conjuntos de vectores de base para cada punto: b₁, b₂, b₃ es la base contravariante, y b¹, b², b³ es la base covariante (también conocida como recíproca). Los tipos de vectores de una base covariante y de una base contravariante tienen dirección idéntica para sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonales, pero como es habitual, tienen los índices invertidos entre sí.

Téngase en cuenta la siguiente igualdad importante:

${\displaystyle \mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=\delta _{j}^{i}}$

donde ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$ denota la delta de Kronecker generalizada.

Demostración

En el sistema de coordenadas cartesiano ${\displaystyle (\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z})}$, se puede escribir el producto escalar como: ${\displaystyle \mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} ^{j}=\left({\dfrac {\partial x}{\partial q_{i}}},{\dfrac {\partial y}{\partial q_{i}}},{\dfrac {\partial z}{\partial q_{i}}}\right)\cdot \left({\dfrac {\partial q_{j}}{\partial x}},{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial y}},{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial z}}\right)={\dfrac {\partial x}{\partial q_{i}}}{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{i}}}{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{i}}}{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial z}}}$ Considérese un desplazamiento infinitesimal ${\displaystyle d\mathbf {r} =dx\cdot \mathbf {e} _{x}+dy\cdot \mathbf {e} _{y}+dz\cdot \mathbf {e} _{z}}$. Sean dq1, dq2 y dq3 los cambios infinitesimales correspondientes en las coordenadas curvilíneas q1, q2 y q3 respectivamente. Según la regla de la cadena, dq1 se puede expresar como: ${\displaystyle dq_{1}={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}dy+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}dz={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}\left({\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}dq_{1}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{3}}}dq_{3}\right)+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}\left({\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}dq_{1}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{3}}}dq_{3}\right)}$ Si el desplazamiento dr es tal que dq2= dq3= 0, es decir, el vector de posición r se mueve una cantidad infinitesimal en el eje de coordenadas q2=const y q3=const, entonces: ${\displaystyle dq_{1}={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}dq_{1}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}dq_{1}}$ Dividiendo por dq1, y tomando el límite dq1 → 0: ${\displaystyle 1={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}{\dfrac {\partial x}{\partial q_{1}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}={\dfrac {\partial x}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}}$ o equivalentemente: ${\displaystyle \mathbf {b} _{1}\cdot \mathbf {b} ^{1}=1}$ Ahora bien, si el desplazamiento dr es tal que dq1=dq3=0, es decir, el vector de posición r se mueve una cantidad infinitesimal según los eje de coordenadas q1=const y q3=const, entonces: ${\displaystyle 0={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}dq_{2}}$ Dividiendo por dq2 y tomando el límite dq2 → 0: ${\displaystyle 0={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}{\dfrac {\partial x}{\partial q_{2}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}={\dfrac {\partial x}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}}$ o equivalentemente: ${\displaystyle \mathbf {b} _{2}\cdot \mathbf {b} ^{1}=0}$ Y así sucesivamente con los demás productos escalares. Demostración alternativa: ${\displaystyle \delta _{j}^{i}dq^{j}=dq^{i}=\nabla q^{i}\cdot d\mathbf {r} =\mathbf {b} ^{i}\cdot {\dfrac {\partial \mathbf {r} }{q}}^{j}dq^{j}=b^{i}b_{j}dq^{j}}$ con el convenio de suma de Einstein implícito.

Un vector v se puede especificar en términos de cualquier base, es decir,

${\displaystyle \mathbf {v} =v^{1}\mathbf {b} _{1}+v^{2}\mathbf {b} _{2}+v^{3}\mathbf {b} _{3}=v_{1}\mathbf {b} ^{1}+v_{2}\mathbf {b} ^{2}+v_{3}\mathbf {b} ^{3}}$

Usando la convención de la suma de Einstein, los vectores de la base se relacionan con las componentes mediante^[2]​^: 30–32

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v^{k}\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} ^{i}=v^{k}\delta _{k}^{i}=v^{i}}$

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v_{k}\mathbf {b} ^{k}\cdot \mathbf {b} _{i}=v_{k}\delta _{i}^{k}=v_{i}}$

y

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v^{k}\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} _{i}=g_{ki}v^{k}}$

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v_{k}\mathbf {b} ^{k}\cdot \mathbf {b} ^{i}=g^{ki}v_{k}}$

donde g es el tensor métrico (véase más abajo).

Un vector se puede especificar con coordenadas covariantes (subíndices, escritos como v_k) o coordenadas contravariantes (superíndices, escritos como v^k). De las sumas de vectores anteriores, se puede ver que las coordenadas contravariantes están asociadas con los vectores de la base covariante, y las coordenadas covariantes están asociadas con los vectores de la base contravariante.

Una característica clave de la representación de vectores y tensores en términos de componentes indexados y vectores de una base es la invariancia en el sentido de que los componentes vectoriales que se transforman de manera covariante (o contravariante) se emparejan con vectores de una base que se transforman de una manera contravariante (o recíprocamente, de manera covariante).

Considérese la curva unidimensional que se muestra en la Fig. 3. En el punto P, tomado como origen, x es una de las coordenadas cartesianas y q¹ es una de las coordenadas curvilíneas. El vector de la base local (no unitario) es b₁ (anotado como h₁ anteriormente, con la letra b reservada para los vectores unitarios) y está construido sobre el eje q¹ que es tangente a esa línea de coordenadas en el punto P. El eje q¹ y, por lo tanto, el vector b₁ forman un ángulo ${\displaystyle \alpha }$ con el eje cartesiano x y el vector de la base cartesiana e₁.

Se puede ver en el triángulo PAB que

${\displaystyle \cos \alpha ={\cfrac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {b} _{1}|}}|e_{1}|=|b_{1}|}$

donde |e₁|,|b₁| son las magnitudes de los dos vectores de cada base, es decir, el escalado determina PB y PA. Además, PA es la proyección de b₁ sobre el eje x.

Sin embargo, este método para transformaciones de vectores de la base utilizando cosenos direccionales no es aplicable a coordenadas curvilíneas por las siguientes razones:

1. Al aumentar la distancia desde P, el ángulo entre la línea curva q¹ y el eje cartesiano x se desvía cada vez más de ${\displaystyle \alpha }$.
2. A la distancia PB, el verdadero ángulo es el que forma la tangente en el punto C con el eje x y este último ángulo es claramente diferente de ${\displaystyle \alpha }$.

Los ángulos que forman la línea q¹ y ese eje con el eje x se vuelven más cercanos en valor cuanto más cerca se está del punto P y se vuelven exactamente iguales en P.

Supóngase que el punto E esté ubicado muy cerca de P, tan cerca que la distancia PE es infinitamente pequeña. Entonces PE medido en el eje q¹ casi coincide con PE medido en la línea q¹. Al mismo tiempo, la relación PD/PE (siendo PD la proyección de PE sobre el eje x) se vuelve casi exactamente igual a ${\displaystyle \cos \alpha }$.

Ahora, las intersecciones infinitamente pequeñas PD y PE se denominan respectivamente como dx y dq¹. Entonces

${\displaystyle \cos \alpha ={\cfrac {dx}{dq^{1}}}={\frac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {b} _{1}|}}}$.

Por lo tanto, los cosenos directores se pueden sustituir en transformaciones con relaciones más exactas entre intersecciones de coordenadas infinitamente pequeñas. De ello se deduce que la componente (proyección) de b₁ sobre el eje x es

${\displaystyle p^{1}=\mathbf {b} _{1}\cdot {\cfrac {\mathbf {e} _{1}}{|\mathbf {e} _{1}|}}=|b_{1}|{|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {e} _{1}|}=|b_{1}|dxdq^{1}p^{1}{|\mathbf {b} _{1}|}=dxdq^{1}}$.

Si qⁱ= qⁱ(x₁, x₂, x₃) y x_i= x_i(q ¹, q², q³) son funciones suaves (continuamente diferenciables), las razones de transformación se pueden escribir como ${\displaystyle {\cfrac {\partial q^{i}}{\partial x_{j}}}}$ y ${\displaystyle {\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}}$. Es decir, esas relaciones son derivadas parciales de las coordenadas que pertenecen a un sistema con respecto a las coordenadas que pertenecen al otro sistema.

Haciendo lo mismo para las coordenadas en las otras dos dimensiones, b₁ se puede expresar como:

${\displaystyle \mathbf {b} _{1}=p^{1}\mathbf {e} _{1}+p^{2}\mathbf {e} _{2}+p^{3}\mathbf {e} _{3}={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{3}}$

Se aplican ecuaciones similares para b₂ y b₃, de modo que la base estándar e₁, e₂, e₃ se transforma a una base local (ordenada y normalizada) b₁, b₂, b₃ por el siguiente sistema de ecuaciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{3}\\\mathbf {b} _{2}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{3}\\\mathbf {b} _{3}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{3}\end{aligned}}}$

Mediante un razonamiento análogo, se puede obtener la transformación inversa de la base local a la base estándar:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{3}\\\mathbf {e} _{2}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{3}\\\mathbf {e} _{3}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{3}\end{aligned}}}$

El sistema de ecuaciones lineales anterior se puede escribir en forma matricial usando la convención de la suma de Einstein como

${\displaystyle {\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{k}}}\mathbf {e} _{i}=\mathbf {b} _{k},\quad {\cfrac {\partial q^{i}}{\partial x_{k}}}\mathbf {b} _{i}=\mathbf {e} _{k}}$.

Esta matriz de coeficientes del sistema lineal es la matriz jacobiana (y su inversa) de la transformación. Estas son las ecuaciones que se pueden utilizar para transformar una base cartesiana en una base curvilínea y viceversa.

En tres dimensiones, las formas expandidas de estas matrices son

${\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{3}}}\\{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{3}}}\\{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{3}}}\\\end{bmatrix}},\quad \mathbf {J} ^{-1}={\begin{bmatrix}{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{3}}}\\{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{3}}}\\{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}}$

En la transformación inversa (segundo sistema de ecuaciones), las incógnitas son los vectores de la base curvilínea. Para cualquier ubicación específica solo puede existir uno y solo un conjunto de vectores de la base (de lo contrario, la base no está bien definida en ese punto). Esta condición se cumple si y solo si el sistema de ecuaciones tiene una única solución. En álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales tiene una solución única (no trivial) solo si el determinante de la matriz de su sistema es distinto de cero:

${\displaystyle \det(\mathbf {J} ^{-1})\neq 0}$

lo que muestra la razón detrás del requisito anterior relativo al determinante de la matriz jacobiana inversa.

El formalismo se extiende a cualquier dimensión finita de la siguiente manera:

Considérese el espacio n-dimensional real euclídeo, es decir Rⁿ= R × R × ... × R (n veces), donde R es el conjunto de los números reales y × denota el producto cartesiano, que es un espacio vectorial.

El sistema de coordenadas de este espacio se puede indicar mediante: x= (x₁, x₂,...,x_n). Como se trata de un vector (un elemento del espacio vectorial), se puede escribir como:

${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} ^{i}}$

donde e¹= (1,0,0...,0), e²= (0,1,0...,0), e³= (0,0,1...,0),...,eⁿ= (0,0,0...,1) es el conjunto de vectores de la base canónica para el espacio Rⁿ, e i= 1, 2,...n es un índice que etiqueta las componentes. Cada vector tiene exactamente una componente en cada dimensión (o eje) y son mutuamente ortogonales (perpendiculares) y normalizados (tiene longitud unidad).

De manera más general, se pueden definir los vectores de la base b_i para que dependan de q= (q₁, q₂,..., q_n), es decir, cambiar de un punto a otro: b_i= b_i(q). En cuyo caso, se puede definir el mismo punto x en términos de esta base alternativa: las coordenadas con respecto a esta base v_i también dependen necesariamente de x, es decir, v_i= v_i(x). Entonces, un vector v en este espacio, con respecto a estas coordenadas alternativas y vectores de la base, se puede expandir como una combinación lineal en esta base (lo que simplemente significa multiplicar cada vector de la base e_i por un número v_i, es decir, realizar una multiplicación escalar):

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{j=1}^{n}{\bar {v}}^{j}\mathbf {b} _{j}=\sum _{j=1}^{n}{\bar {v}}^{j}(\mathbf {q} )\mathbf {b} _{j}(\mathbf {q} )}$

La suma vectorial que describe v en la nueva base se compone de diferentes vectores, aunque la suma en sí sigue siendo la misma.

Desde una perspectiva más general y abstracta, un sistema de coordenadas curvilíneo es simplemente un parche coordenado en una variedad diferenciable Eⁿ (el espacio euclídeo n-dimensional) que es difeomorfo al parche de coordenadas cartesianas en la variedad.^[3]​ No es necesario que dos parches de coordenadas difeomorfas en una variedad diferencial se superpongan de manera diferenciable. Con esta definición simple de un sistema de coordenadas curvilíneo, todos los resultados que siguen a continuación son simplemente aplicaciones de teoremas estándar en la topología diferencial.

Las funciones de transformación son tales que existe una relación uno a uno entre los puntos en las coordenadas antiguas y en las nuevas, es decir, esas funciones son biyectivas y cumplen los siguientes requisitos dentro de sus dominios:

El álgebra elemental de vectores y tensores en coordenadas curvilíneas se utiliza en parte de la bibliografía científica más antigua en mecánica y física, y puede ser indispensable para comprender el trabajo de principios y mediados del siglo XX, como por ejemplo, el texto de Green y Zerna.^[5]​ En esta sección se dan algunas relaciones útiles en el álgebra de vectores y tensores de segundo orden en coordenadas curvilíneas. La notación y el contenido son principalmente de Ogden,^[6]​ Naghdi,^[7]​ Simmonds,^[2]​ Green y Zerna,^[5]​ Basar y Weichert,^[8]​ y Ciarlet.^[9]​

Un tensor de segundo orden se puede expresar como

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=S^{ij}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=S^{i}{}_{j}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=S_{i}{}^{j}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=S_{ij}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}}$

donde ${\displaystyle \scriptstyle \otimes }$ denota un producto tensorial. Las componentes S^ij se denominan componentes contravariantes; Sⁱ _j son las componentes covariantes a derechas mixtas; S_i ^j son las componentes covariantes a izquierdas mixtas; y S_ij son las componentes covariantes del tensor de segundo orden, que están relacionadas por

${\displaystyle S^{ij}=g^{ik}S_{k}{}^{j}=g^{jk}S^{i}{}_{k}=g^{ik}g^{j\ell }S_{k\ell }}$

En cada punto, se puede construir un pequeño elemento lineal dx, por lo que el cuadrado de la longitud del elemento lineal es el producto escalar dx · dx y se llama métrica del espacio, dada por:

${\displaystyle d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} ={\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}{\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{k}}}dq^{j}dq^{k}}$.

La siguiente parte de la ecuación anterior

${\displaystyle {\cfrac {\partial x_{k}}{\partial q^{i}}}{\cfrac {\partial x_{k}}{\partial q^{j}}}=g_{ij}(q^{i},q^{j})=\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}}$

es un tensor simétrico llamado tensor fundamental (o métrico) del espacio euclídeo en coordenadas curvilíneas.

Los índices pueden ser elevados y descendidos según la métrica:

${\displaystyle v^{i}=g^{ik}v_{k}}$

La definición de los factores de escala h_i mediante

${\displaystyle h_{i}h_{j}=g_{ij}=\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}\quad \Rightarrow \quad h_{i}={\sqrt {g_{ii}}}=\left|\mathbf {b} _{i}\right|=\left|{\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}\right|}$

da una relación entre el tensor métrico y los coeficientes de Lamé, y

${\displaystyle g_{ij}={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}\cdot {\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{j}}}=\left(h_{ki}\mathbf {e} _{k}\right)\cdot \left(h_{mj}\mathbf {e} _{m}\right)=h_{ki}h_{kj}}$

donde h_ij son los coeficientes de Lamé. Para una base ortogonal también se tiene que:

${\displaystyle g=g_{11}g_{22}g_{33}=h_{1}^{2}h_{2}^{2}h_{3}^{2}\quad \Rightarrow \quad {\sqrt {g}}=h_{1}h_{2}h_{3}=J}$

Si se consideran las coordenadas polares en el plano R²,

${\displaystyle (x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )}$

(r, θ) son las coordenadas curvilíneas, y el determinante jacobiano de la transformación (r, θ) → (r cos θ, r sin θ) es r.

Los vectores de la base ortogonal son b_r= (cos θ, sin θ), b_θ= (-r sin θ, r cos θ). Los factores de escala son h_r= 1 y h_θ= r. El tensor fundamental es g₁₁=1, g₂₂=r², g₁₂= g₂₁=0.

En una base ortonormal orientada a la derecha, el tensor alterno de tercer orden se define como

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {E}}}=\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} ^{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}\otimes \mathbf {e} ^{k}}$

En una base curvilínea general, el mismo tensor se puede expresar como

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {E}}}={\mathcal {E}}_{ijk}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}={\mathcal {E}}^{ijk}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}\otimes \mathbf {b} _{k}}$

También se puede demostrar que

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{ijk}={\cfrac {1}{J}}\varepsilon _{ijk}={\cfrac {1}{+{\sqrt {g}}}}\varepsilon _{ijk}}$

Símbolos de Christoffel de primera especie ${\displaystyle \Gamma _{kij}}$

${\displaystyle \mathbf {b} _{i,j}={\frac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}=\mathbf {b} ^{k}\Gamma _{kij}\quad \Rightarrow \quad \mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} _{i,j}=\Gamma _{kij}}$

donde la coma indica derivada parcial (véase cálculo tensorial). Para expresar G_kij en términos de g_ij,

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{ij,k}&=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}=\mathbf {b} _{i,k}\cdot \mathbf {b} _{j}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j,k}=\Gamma _{jik}+\Gamma _{ijk}\\g_{ik,j}&=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}=\mathbf {b} _{i,j}\cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k,j}=\Gamma _{kij}+\Gamma _{ikj}\\g_{jk,i}&=(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}=\mathbf {b} _{j,i}\cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k,i}=\Gamma _{kji}+\Gamma _{jki}\end{aligned}}}$

Dado que

${\displaystyle \mathbf {b} _{i,j}=\mathbf {b} _{j,i}\quad \Rightarrow \quad \Gamma _{kij}=\Gamma _{kji}}$

usar estas equivalencias para reorganizar las relaciones anteriores permite obtener

${\displaystyle \Gamma _{kij}={\frac {1}{2}}(g_{ik,j}+g_{jk,i}-g_{ij,k})={\frac {1}{2}}[(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}+(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}-(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}]}$

Símbolos de Christoffel de segunda especie ${\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ji}}$

${\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ij}=g^{kl}\Gamma _{lij}=\Gamma ^{k}{}_{ji},\quad {\cfrac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}=\mathbf {b} _{k}\Gamma ^{k}{}_{ij}}$

Esto implica que

${\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ij}={\cfrac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}\cdot \mathbf {b} ^{k}=-\mathbf {b} _{i}\cdot {\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{k}}{\partial q^{j}}}\quad }$ desde ${\displaystyle \quad {\cfrac {\partial }{\partial q^{j}}}(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} ^{k})=0}$.

Otras relaciones que siguen son

${\displaystyle {\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{i}}{\partial q^{j}}}=-\Gamma ^{i}{}_{jk}\mathbf {b} ^{k},\quad {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} _{i}=\Gamma ^{k}{}_{ij}\mathbf {b} _{k}\otimes \mathbf {b} ^{j},\quad {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} ^{i}=-\Gamma ^{i}{}_{jk}\mathbf {b} ^{k}\otimes \mathbf {b} ^{j}}$

Es necesario realizar ajustes en el cálculo de integrales de curvas, superficies y volúmenes. Para simplificar las expresiones resultantes el alcance de los párrafos siguientes se limita a tres dimensiones y coordenadas curvilíneas ortogonales. Sin embargo, los mismos argumentos se aplican a espacios de n dimensiones. Cuando el sistema de coordenadas no es ortogonal, hay algunos términos adicionales en las expresiones.

Simmonds,^[2]​ en su libro sobre campos tensoriales, cita a Albert Einstein diciendo que:^[10]​

La magia de esta teoría difícilmente dejará de imponerse a cualquiera que la haya comprendido verdaderamente; representa un triunfo genuino del método del cálculo diferencial absoluto, fundado por Gauss, Riemann, Ricci y Levi-Civita.

El cálculo vectorial y tensorial en coordenadas curvilíneas generales se utiliza en el análisis tensorial en variedades curvilíneas de cuatro dimensiones en la relatividad general,^[11]​ en la mecánica de láminas curvas,^[9]​ para examinar las propiedades de invariancia de las ecuaciones de Maxwell en el campo de los metamateriales^[12]​^[13]​ y en muchas otras áreas de investigación.

En esta sección se dan algunas relaciones útiles en el cálculo de vectores y tensores de segundo orden en coordenadas curvilíneas. La notación y el contenido son principalmente de Ogden,^[14]​ Simmonds,^[2]​ Green y Zerna,^[5]​ Basar y Weichert,^[8]​ y Ciarlet.^[9]​

Sea f= f(x) un campo escalar bien definido y v= v(x) un campo vectorial bien definido, y sean λ₁, λ₂... parámetros de las coordenadas.

Operador	Campo escalar	Campo vectorial
Integral de línea	${\displaystyle \int _{C}\varphi (\mathbf {x} )ds=\int _{a}^{b}\varphi (\mathbf {x} (\lambda ))\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda }\right|d\lambda }$	${\displaystyle \int _{C}\mathbf {v} (\mathbf {x} )\cdot d\mathbf {s} =\int _{a}^{b}\mathbf {v} (\mathbf {x} (\lambda ))\cdot \left({\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda }\right)d\lambda }$
Integral de superficie	${\displaystyle \int _{S}\varphi (\mathbf {x} )dS=\iint _{T}\varphi (\mathbf {x} (\lambda _{1},\lambda _{2}))\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{2}}\right|d\lambda _{1}d\lambda _{2}}$	${\displaystyle \int _{S}\mathbf {v} (\mathbf {x} )\cdot dS=\iint _{T}\mathbf {v} (\mathbf {x} (\lambda _{1},\lambda _{2}))\cdot \left({\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{2}}\right)d\lambda _{1}d\lambda _{2}}$
Integral de volumen	${\displaystyle \iiint _{V}\varphi (x,y,z)dV=\iiint _{V}\chi (q_{1},q_{2},q_{3})Jdq_{1}dq_{2}dq_{3}}$	${\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {u} (x,y,z)dV=\iiint _{V}\mathbf {v} (q_{1},q_{2},q_{3})Jdq_{1}dq_{2}dq_{3}}$

Las expresiones para el gradiente, la divergencia y el laplaciano se pueden extender directamente a n dimensiones, aunque el rotacional solo se define en 3D.

El campo vectorial b_i es tangente a la curva de coordenadas qⁱ y forma una base natural en cada punto de la curva. Esta base, como se analizó al principio de este artículo, también se denomina base curvilínea covariante. También se puede definir una base recíproca o una base curvilínea contravariante, bⁱ. Todas las relaciones algebraicas entre los vectores de una base, como se analiza en la sección sobre álgebra tensorial, se aplican a la base natural y su recíproca en cada punto x.

Operador	Campo escalar	Campo vectorial	Campo tensorial de segundo orden
Gradiente	${\displaystyle \nabla \varphi ={\cfrac {1}{h_{i}}}{\partial \varphi \over \partial q^{i}}\mathbf {b} ^{i}}$	${\displaystyle \nabla \mathbf {v} ={\cfrac {1}{h_{i}^{2}}}{\partial \mathbf {v} \over \partial q^{i}}\otimes \mathbf {b} _{i}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}={\cfrac {\partial {\boldsymbol {S}}}{\partial q^{i}}}\otimes \mathbf {b} ^{i}}$
Divergencia	N/A	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} ={\cfrac {1}{\prod _{j}h_{j}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}(v^{i}\prod _{j\neq i}h_{j})}$	${\displaystyle ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}})\cdot \mathbf {a} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\boldsymbol {S}}\cdot \mathbf {a} )}$ donde a es un vector constante arbitrario. En coordenadas curvilíneas, ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}=\left[{\cfrac {\partial S_{ij}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ki}^{l}S_{lj}-\Gamma _{kj}^{l}S_{il}\right]g^{ik}\mathbf {b} ^{j}}$
Operador laplaciano	${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi ={\cfrac {1}{\prod _{j}h_{j}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\cfrac {\prod _{j}h_{j}}{h_{i}^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{i}}}\right)}$	${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {v} \equiv \nabla \nabla \cdot \mathbf {v} -\nabla \times \nabla \times \mathbf {v} }$ ${\displaystyle ~~~={\hat {\mathbf {x} }}\nabla ^{2}v_{x}+{\hat {\mathbf {y} }}\nabla ^{2}v_{y}+{\hat {\mathbf {z} }}\nabla ^{2}v_{z}}$ (Primera igualdad solo en 3D; segunda igualdad solo en componentes cartesianas)
Rotacional	N/A	Solo para campos vectoriales en 3D, ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\mathbf {e} _{i}\epsilon _{ijk}h_{i}{\frac {\partial (h_{k}v_{k})}{\partial q^{j}}}}$ donde ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$ es el símbolo de Levi-Civita.	Véase rotacional de un campo tensorial