En matemáticas, la constante ${\displaystyle {\text{e}}\,}$ es uno de los números irracionales y los números trascendentes más importantes.^[1]​

Es aproximadamente 2,71828 y aparece en diversas ramas de las matemáticas, al ser la base de los logaritmos naturales y formar parte de las ecuaciones del interés compuesto y otros muchos problemas.^[2]​

El número ${\displaystyle {\text{e}}\,}$, conocido en ocasiones como número de Euler o constante de Napier, fue reconocido y utilizado por primera vez por el matemático escocés John Napier, quien introdujo el concepto de logaritmo en el cálculo matemático.

Juega un papel importante en el cálculo y en el análisis matemático, en la definición de la función más importante de la matemática,^[3]​ la función exponencial, así como ${\displaystyle \pi \,}$ lo es de la geometría y el número ${\displaystyle i\,}$ del análisis complejo y del álgebra.

El número ${\displaystyle {\text{e}}\,}$, al igual que el número ${\displaystyle \pi \,}$ y el número áureo (φ), es un número irracional, no expresable mediante una razón de dos números enteros; o bien, no puede ser representado por un numeral decimal exacto o un decimal periódico. Además, también como ${\displaystyle \pi \,}$, es un número trascendente, es decir, que no puede ser raíz de ecuación algebraica alguna con coeficientes racionales.^[4]​ El valor de ${\displaystyle {\text{e}}\,}$ truncado a sus primeras cifras decimales es el siguiente:

${\displaystyle {\text{e}}\ =2,718\;281\;828\;459\;045\;235\;360...}$

Lista de números – Números irracionales γ – ζ(3) – √2 – √3 – √5 – φ – α – e – π – δ – τ
Binario	10.10110111111000010101…
Decimal	2.718281828459045235360…
Hexadecimal	2.B7E151628AED2A6B…
Fracción continua	${\displaystyle 1+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{18+\ddots \,}}}}}}}}}}}$ Nótese que la fracción continua no es periódica.

A diferencia de ${\displaystyle \pi \,}$, la introducción del número ${\displaystyle {\text{e}}}$ en la matemática es relativamente reciente, lo cual tiene sentido si se considera que este último tuvo un origen analítico y no geométrico, como el primero. En las palabras de Eli Maor:^[5]​

The story of ${\displaystyle \pi \,}$ has been extensively told, no doubt because its history goes back to ancient times, but also because much of it can be grasped without a knowledge of advanced mathematics. Perhaps no book did better than Petr Beckmann's A History of Pi, a model of popular yet clear and precise exposition. The number e fared less well. Not only is it of more modern vintage, but its history is closely associated with the calculus, the subject that is traditionally regarded as the gate to "higher" mathematics.

La historia de ${\displaystyle \pi \,}$ ha sido extensivamente contada, sin duda no solo porque su historia se trae desde tiempos antiguos, sino también porque mucho de él puede ser entendido sin un conocimiento avanzado de las matemáticas. Quizá ningún libro fue mejor que Historia de Pi de Petr Beckmann, un modelo de exposición popular pero también claro y preciso. Al número e no le fue tan bien. No solo es de una época más moderna, sino también que su historia está cercanamente asociada con el cálculo, el tema que es tradicionalmente visto como la puerta hacia matemáticas "más elevadas".

Las primeras referencias a la constante fueron publicadas en 1618 en la tabla en un apéndice de un trabajo sobre logaritmos de John Napier.^[6]​ No obstante, esta tabla no contenía el valor de la constante, sino que era simplemente una lista de logaritmos naturales calculados a partir de esta. Se cree que la tabla fue escrita por William Oughtred. Unos años más tarde, en 1624, ${\displaystyle {\text{e}}}$ se ve nuevamente involucrado en la literatura matemática, aunque no del todo. Ese año, Briggs dio una aproximación numérica a los logaritmos en base 10, pero no mencionó al número ${\displaystyle {\text{e}}}$ explícitamente en su trabajo.

La siguiente aparición de ${\displaystyle {\text{e}}}$ es algo dudosa. En 1647, Saint-Vincent calculó el área bajo la hipérbola rectangular. Si reconoció la conexión con los logaritmos es una cuestión abierta a debate, e incluso si lo hizo, no hubo razón para que tratara con ${\displaystyle {\text{e}}}$ explícitamente. Quien sí comprendió la relación entre la hipérbola rectangular y el logaritmo fue Huygens allá por 1661, al estudiar el problema del área bajo la curva ${\displaystyle yx=1}$. El número ${\displaystyle {\text{e}}}$ es aquel valor de abscisa a tomar para que el área bajo esta curva a partir de 1 sea igual a 1. Esta es la propiedad que hace que ${\displaystyle {\text{e}}}$ sea la base de los logaritmos naturales, y si bien no era comprendida del todo por los matemáticos de aquel entonces, de a poco iban acercándose a su comprensión.

Sin embargo, y tal vez inesperadamente, no es a través de los logaritmos que ${\displaystyle {\text{e}}}$ es descubierto, sino del estudio del interés compuesto, problema abordado por Jacob Bernoulli en 1683. Si se invierte una Unidad Monetaria (que abreviaremos en lo sucesivo como UM) con un interés del 100% anual y se pagan los intereses una vez al año, se obtendrán 2 UM. Si se pagan los intereses 2 veces al año, dividiendo el interés entre 2, la cantidad obtenida es 1 UM multiplicado por 1,5 dos veces, es decir 1 UM x 1,50² = 2,25 UM. Si dividimos el año en 4 períodos (trimestres), al igual que la tasa de interés, se obtienen 1 UM x 1,25⁴ = 2,4414… En caso de pagos mensuales el monto asciende a 1 UM x ${\displaystyle (1+\textstyle {1 \over 12})^{12}}$ = 2,61303…UM. Por tanto, cada vez que se aumenta la cantidad de períodos de pago en un factor de n (que tiende a crecer sin límite) y se reduce la tasa de interés en el período, en un factor de ${\displaystyle \textstyle {1 \over n}}$, el total de unidades monetarias obtenidas estará dado por la siguiente expresión:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{1 \over n}\right)^{n}.}$

Bernoulli utilizó el teorema del binomio para mostrar que dicho límite se encontraba entre 2 y 3. Se puede considerar que ésta es la primera aproximación encontrada para ${\displaystyle {\text{e}}}$. Incluso si aceptamos ésta como una definición de ${\displaystyle {\text{e}}}$, sería la primera vez que un número se define como un proceso de límite. Con seguridad, Bernoulli no reconoció ninguna conexión entre su trabajo y los logaritmos. De aquí proviene la definición que se da de ${\displaystyle {\text{e}}}$ en finanzas, que expresa que este número es el límite de una inversión de 1 UM con una tasa de interés al 100% anual compuesto en forma continua. En forma más general, una inversión que se inicia con un capital C y una tasa de interés anual R, proporcionará ${\displaystyle Ce^{R}}$ UM con interés compuesto.

El primer uso conocido de la constante, representado por la letra b, fue en una carta de Gottfried Leibniz a Christiaan Huygens en 1690 y 1691. Leonhard Euler comenzó a utilizar la letra e para identificar la constante en 1727, y el primer uso de ${\displaystyle {\text{e}}}$ en una publicación fue en Mechanica, de Euler, publicado en 1736. Mientras que en los años subsiguientes algunos investigadores usaron la letra c, ${\displaystyle {\text{e}}}$ fue la más común, y finalmente se convirtió en la terminología usual. Euler realizó varios aportes en relación con ${\displaystyle {\text{e}}}$ en los años siguientes, pero no fue hasta 1748 cuando publicó su Introductio in analysin infinitorum que dio un tratamiento definitivo a las ideas sobre ${\displaystyle {\text{e}}}$. Allí mostró que

${\displaystyle {\text{e}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots }$

y dio una aproximación para ${\displaystyle {\text{e}}}$ de 18 cifras decimales, sin mostrar cómo la obtuvo. También dio su expresión como fracción continua reconociendo el patrón que sigue dicha expresión. Fue esta caracterización la que le sirvió de base para concluir que ${\displaystyle {\text{e}}}$ es un número irracional, y la mayor parte de la comunidad acepta que Euler fue el primero en probar esta propiedad.

La pasión que guio a mucha gente a calcular más y más cifras decimales de ${\displaystyle \pi \,}$ nunca pareció replicarse de la misma manera para ${\displaystyle {\text{e}}}$. Sin embargo, algunos se embarcaron en la tarea de calcular su expansión decimal y el primero en contribuir con esto fue William Shanks en 1854. Vale la pena destacar que Shanks fue un entusiasta aún mayor del cálculo de los decimales de ${\displaystyle \pi }$. James Whitbread Lee Glaisher mostró que los primeros 137 lugares de Shanks para el cálculo de ${\displaystyle {\text{e}}}$ eran correctos, pero encontró un error que, tras ser corregido por el propio Shanks, arrojó cifras decimales de e hasta el lugar 205. De hecho, se necesita alrededor de 120 términos de 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + … para obtener 200 decimales.

Expansiones decimales aún mayores siguieron con los trabajos de Boorman en 1884, quien calculó 346 lugares y halló que su cómputo coincidía con el de Shanks hasta el lugar 187, pero luego divergían. En 1887 Adams estimó el logaritmo de ${\displaystyle {\text{e}}}$ en base 10 con 272 cifras exactas.

En 1873, Charles Hermite (1822-1905) logró demostrar que ${\displaystyle {\text{e}}}$ es trascendente. A dicho logro llegó usando un polinomio, conseguido con ayuda de fracciones continuas empleadas, anteriormente, por Lambert. David Hilbert (también Karl Weierstrass y otros), propuso posteriormente variantes y modificaciones de las primeras demostraciones.^[7]​

La definición más común de ${\displaystyle e}$ es como el valor límite de la sucesión ${\displaystyle (1+n^{-1})^{n}}$.^[8]​ En símbolos,

${\displaystyle {\text{e}}:=\lim _{n\to \infty }\left(1+n^{-1}\right)^{n}}$

A veces se toma también como punto de partida, resultado de aplicar el teorema del binomio, la serie siguiente:

${\displaystyle {\text{e}}=\sum _{n=0}^{\infty }(n!)^{-1}}$

que se expande como

${\displaystyle {\text{e}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots }$

Otra definición habitual^[9]​ dada a través del cálculo integral es como solución de la ecuación

${\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}=1,}$

es decir que se define ${\displaystyle {\text{e}}}$ como el número para el que

${\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {dt}{t}}=1.}$

Para cualquier ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$, la sucesión ${\displaystyle \left(1+{\tfrac {x}{n}}\right)^{n}}$ converge. Podemos denotar dicho límite con ${\displaystyle {\text{e}}^{x}}$:

${\displaystyle {\text{e}}^{x}:=\lim _{n\to \infty }\left(1+{x \over n}\right)^{n}.}$

Se llama función exponencial a la función real cuya variable independiente recorre el conjunto ${\displaystyle \mathbb {R} }$ de los números reales, y se define como

${\displaystyle {\begin{aligned}f\colon \mathbb {R} &\to \mathbb {R^{+}} \\x&\mapsto {\text{e}}^{x}\end{aligned}}}$

El rasgo más relevante de la función exponencial es que su función derivada (que existe en todo punto) coincide con la propia función, es decir,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.}$

Además, es la única función no idénticamente nula (a menos de multiplicación por constantes) con esta propiedad. Esto hace de la exponencial la función más importante del análisis matemático, y en particular para las ecuaciones diferenciales.

El desarrollo en serie de la función ${\displaystyle f(x)={\text{e}}^{x}}$ se realiza mediante la fórmula de Maclaurin. Puesto que

${\displaystyle f(x)=f^{'}(x)=f^{''}(x)=...=f^{n+1}(x)={\text{e}}^{x},}$

${\displaystyle f(0)=f^{'}(0)=f^{''}(0)=...=f^{n+1}(0)=1,}$

la fórmula de Maclaurin se escribe de la siguiente manera:

${\displaystyle {\text{e}}^{x}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}\,x^{k}+R_{k}(x)=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+...+{\frac {x^{n}}{n!}}+O(x^{n+1})}$

Suponiendo x=1, se obtiene el valor aproximado del número

${\displaystyle {\text{e}}\approx 1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+...+{\frac {1}{n!}}}$

Donde ≈ se entiende como un valor aproximado.^[10]​

Este problema plantea encontrar el máximo absoluto de la función

${\displaystyle f(x)=x^{1/x}.}$

Este máximo se da precisamente en ${\displaystyle {\text{e}}}$.^[11]​

Asimismo, ${\displaystyle 1/{\text{e}}}$ es el mínimo absoluto de la función

${\displaystyle f(x)=x^{x}\,}$

definida para ${\displaystyle x>0}$. Más en general, la función

${\displaystyle \!\ f(x)=x^{x^{n}}}$

alcanza su máximo global en ${\displaystyle 1/{\text{e}}}$ para ${\displaystyle n<0}$; y el mínimo global se encuentra en ${\displaystyle {\text{e}}^{-1/n}}$ para ${\displaystyle n>0}$.

La tetración infinita

${\displaystyle x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$ o ${\displaystyle {^{\infty }}x}$

converge si y solo si ${\displaystyle {\text{e}}^{-{\text{e}}}\leq x\leq {\text{e}}^{1/{\text{e}}}}$, por un teorema de Leonhard Euler.^[12]​^[13]​

El número ${\displaystyle {\text{e}}}$ presenta en la fórmula de Euler un papel importante relacionado con los números complejos:

${\displaystyle {\text{e}}^{ix}=\cos x+i\operatorname {sen} x,\,\!}$

El caso especial con ${\displaystyle x=\pi }$ es conocido como identidad de Euler o fórmula mística de Euler

${\displaystyle {\text{e}}^{i\pi }+1=0.\,\!}$

de lo que se deduce que:

${\displaystyle \log _{e}(-1)=i\pi .\,\!}$

Además, utilizando las leyes de la exponenciación, se obtiene:

${\displaystyle (\cos x+i\operatorname {sen} x)^{n}=\left({\text{e}}^{ix}\right)^{n}={\text{e}}^{inx}=\cos(nx)+i\operatorname {sen}(nx)}$

que es la fórmula de De Moivre.

Esta fórmula llegó como una revelación a Benjamin Peirce, profesor de Harvard, quien la expuso ante sus alumnos, y manifestó su reconocimiento ante la maravillosa conexión de los cinco números más famosos de toda la matemática.^[14]​

El número e también aparece en aplicaciones a la teoría de probabilidades. Un ejemplo es el problema de los desarreglos, descubierto en parte por Jacob Bernoulli junto con Pierre Raymond de Montmort, también conocido como el problema de los sombreros:^[15]​ los n invitados a una fiesta dejan a la entrada sus sombreros con el mayordomo, quien los coloca luego en n compartimentos, cada uno con el nombre de uno de los invitados. Pero el mayordomo no conoce la identidad de los invitados, y entonces coloca los sombreros en los compartimentos al azar. El problema de De Montmort es encontrar la probabilidad de que ninguno de los sombreros sea colocado en el compartimento correcto. La respuesta es:

${\displaystyle P(n)=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.}$

A medida que el número n de invitados tiende a infinito, P(n) se aproxima a 1/e. Más aún, el número de maneras en que se pueden colocar los sombreros en los compartimentos de forma que ninguno corresponda a su dueño es n!/e redondeado al entero más cercano, para cada positivo n.^[16]​ El resultado anterior puede reformularse de la siguiente manera: sea ${\displaystyle P(n)}$ la probabilidad de que una función aleatoria del conjunto 1, 2, ..., n en sí mismo tenga al menos un punto fijo. Entonces

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(n)=1-{\frac {1}{e}}=0.6321205588...}$

Otra aparición de ${\displaystyle {\text{e}}}$ en la probabilidad es en el siguiente problema: se tiene una secuencia infinita de variables aleatorias X₁, X₂…, con distribución uniforme en [0,1]. Sea N el menor entero n tal que la suma de las primeras n observaciones es mayor que 1:

${\displaystyle N=\min {\left\{n\mid X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}>1\right\}}.}$

Luego, ${\displaystyle E(N)={\text{e}}}$.^[17]​ Este resultado permite estimar el valor de la constante por medio de simulaciones aleatorias.^[18]​

Sin embargo, el papel más relevante que juega el número ${\displaystyle {\text{e}}}$ en esta rama de la matemática viene dado a través de la función de densidad de probabilidad para la distribución normal con media μ y desviación estándar σ, que depende de la integral gaussiana:^[19]​

${\displaystyle \phi (x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,{\text{e}}^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}.}$

El rol de esta distribución es central en la teoría y la práctica.

Las siguientes dos relaciones son corolarios directos del teorema de los números primos^[20]​

${\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{p_{n}}]{(p_{n}\#)}}}$

donde ${\displaystyle p_{n}}$ es n-esimo primo y ${\displaystyle p_{n}\#}$ es el primorial del n-esimo primo.

${\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }n^{\pi (n)/n}}$

donde ${\displaystyle \pi (n)}$ la función contadora de primos.

Al igual que ${\displaystyle \pi }$, ${\displaystyle {\text{e}}}$ puede interpretarse como un cociente entre cantidades ligadas a cierta curva del plano. Consideremos una curva con la propiedad de que cualquier semirrecta que nace en el origen corta a esta formando un ángulo de ${\displaystyle \pi /4}$ radianes (existen instrumentos que permiten trazar curvas con esta característica).^[21]​^[22]​ Si tomamos dos puntos cualesquiera de la curva ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ con una separación angular de 1 radián, y ${\displaystyle r_{i}=\operatorname {dist} (P_{i},O),r_{1}<r_{2},}$ entonces se tiene

${\displaystyle {\frac {r_{2}}{r_{1}}}={\text{e}}.}$

Esta construcción puede parecer forzada por el hecho de requerir medir un radián, sin embargo, esto puede conseguirse muy fácilmente si permitimos la operación de deslizar una circunferencia sobre una recta (operación más que usual dentro del conjunto de curvas mecánicas). La curva con la propiedad anteriormente señalada es un caso especial de espiral logarítmica o equiangular, y puede probarse fácilmente que a partir de su condición de «equiangularidad», su ecuación en coordenadas polares ${\displaystyle (r,\theta )}$ viene dada por

${\displaystyle r(\theta )=Ae^{\theta },\qquad \theta \in \mathbb {R} ,A>0.}$

Más generalmente, si la curva es cortada formando un ángulo ${\displaystyle 0<\alpha \leq \pi /2}$, entonces su expresión en coordenadas polares es

${\displaystyle r(\theta )=Ae^{\cot(\alpha )\cdot \theta }.}$

Otra manifestación relevante de e en la geometría se da con la catenaria. La catenaria es la curva cuya forma es adoptada por una cuerda de densidad uniforme sujeta por sus dos extremos y sometida únicamente a la fuerza de la gravedad. Queda determinada por la posición de sus extremos y su longitud.

El número real ${\displaystyle {\text{e}}}$ es irracional,^[23]​ lo que significa que no puede expresarse como fracción de dos números enteros, como demostró Euler en 1737. En su demostración, Euler se valió de la representación de e como fracción continua, que al ser infinita, no puede corresponder a un número racional. Sin embargo, la demostración más conocida fue dada por Fourier, y se basa en el desarrollo en serie del número.

En 1768, J. H. Lambert (1728-1777) probó que ${\displaystyle {\text{e}}^{p/q}}$ es irracional si ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ es un racional positivo.

También es un trascendente, es decir, que no es la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros (ver teorema de Lindemann–Weierstrass). Fue el primer número trascendente que fue probado como tal, sin haber sido construido específicamente para tal propósito (comparar con el número de Liouville). La demostración de esto fue dada por Charles Hermite en 1873.^[24]​ Se cree que e además es un número normal. No se sabe si e es un período algebraico.^[25]​

A continuación, se exhiben varias fórmulas que involucran de diversas formas a ${\displaystyle {\text{e}}}$:

${\displaystyle {\frac {1}{\text{e}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1-2k}{(2k)!}}.}$^[26]​

${\displaystyle {\sqrt {\text{e}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {4k+3}{2^{2k+1}\,(2k+1)!}}.}$

${\displaystyle {\frac {{\text{e}}+1}{e-1}}=2+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{18+{\ddots }}}}}}}}}.}$

${\displaystyle {\sqrt {\text{e}}}-1={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{5+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}.}$

${\displaystyle 2={\frac {{\text{e}}^{1}}{{\text{e}}^{1/2}}}\cdot {\frac {{\text{e}}^{1/3}}{{\text{e}}^{1/4}}}\cdot {\frac {{\text{e}}^{1/5}}{{\text{e}}^{1/6}}}\cdot {\frac {{\text{e}}^{1/7}}{{\text{e}}^{1/8}}}\cdots ,}$

la cual se obtiene de la identidad ${\displaystyle \ln 2=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}\cdots }$

${\displaystyle {\text{e}}-{\frac {1}{\text{e}}}=2\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{k^{2}\pi ^{2}}}\right).}$

${\displaystyle {\text{e}}+{\frac {1}{\text{e}}}=2\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {4}{(2k-1)^{2}\pi ^{2}}}\right).}$

Identidad de Euler o fórmula mística de Euler

${\displaystyle {\text{e}}^{i\pi }+1=0.\,\!}$

Fórmula de Stirling:

${\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{\text{e}}}\right)^{n}.}$

Fórmula de Gosper:

${\displaystyle -{\frac {\pi ^{2}}{12{\text{e}}^{3}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}\ \cos \left({\frac {9}{k\pi +{\sqrt {k^{2}\pi ^{2}-9}}}}\right).}$

El número ${\displaystyle {\text{e}}}$ puede ser representado como un número real en varias formas: como serie infinita, como producto infinito, como fracción continua o como límite de una sucesión.

La principal de estas representaciones, particularmente en los cursos básicos de cálculo, es la propia definición de ${\displaystyle {\text{e}}}$, es decir, el límite:

${\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$

En 1975, el suizo Felix A. Keller obtuvo el límite simétrico:^[27]​^[28]​

${\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {(n+1)^{n+1}}{n^{n}}}-{\frac {n^{n}}{(n-1)^{n-1}}}\right].}$

De la fórmula de Stirling se obtiene

${\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }n\cdot \left({\frac {\sqrt {2\pi n}}{n!}}\right)^{1/n}}$ y

${\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}}$.^[29]​

Se mostró también que

${\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{p_{n}}]{(p_{n}\#)}}}$

donde ${\displaystyle p_{n}}$ es enésimo primo y ${\displaystyle p_{n}\#}$ es el primorial del enésimo primo.

${\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }n^{\pi (n)/n}}$

donde ${\displaystyle \pi (n)}$ la función contadora de primos.

${\displaystyle {\text{e}}={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{k!}}}$

${\displaystyle {\text{e}}=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{(2k+1)!}}}$

${\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {3-4k^{2}}{(2k+1)!}}}$

${\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(3k)^{2}+1}{(3k)!}}}$

${\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2k+3}{(k+2)!}}}$^[30]​

${\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{n}}{B_{n}(k!)}}}$ donde ${\displaystyle B_{n}}$ es el ${\displaystyle n}$-esimo número de Bell.

Algunos ejemplos de esta última caracterización:

${\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{2(k!)}}}$

${\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{3}}{5(k!)}}}$

${\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{4}}{15(k!)}}}$

${\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{5}}{52(k!)}}}$

${\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{6}}{203(k!)}}}$

${\displaystyle {\text{e}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{7}}{877(k!)}}}$

El número ${\displaystyle {\text{e}}}$ puede expresarse también mediante productos infinitos «del tipo Wallis» de diversas formas,^[31]​ incluyendo el producto de Pippenger^[32]​^[33]​

${\displaystyle {\text{e}}=2\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {2}{3}}\;{\frac {4}{3}}\right)^{1/4}\left({\frac {4}{5}}\;{\frac {6}{5}}\;{\frac {6}{7}}\;{\frac {8}{7}}\right)^{1/8}\left({\frac {8}{9}}\;{\frac {10}{9}}\;{\frac {10}{11}}\;{\frac {12}{11}}\;{\frac {12}{13}}\;{\frac {14}{13}}\;{\frac {14}{15}}\;{\frac {16}{15}}\right)^{1/16}\cdots ,}$

el producto de Catalán

${\displaystyle {\text{e}}=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/1}\left({\frac {4}{1\cdot 3}}\right)^{1/2}\left({\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}\right)^{1/4}\left({\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\right)^{1/8}\cdots ,}$

y el producto de Guillera^[34]​^[35]​

${\displaystyle {\text{e}}=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/1}\left({\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}\right)^{1/2}\left({\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}\right)^{1/3}\left({\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}\right)^{1/4}\cdots ,}$

donde el n-ésimo factor es la n-ésima raíz del producto

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}},}$

como también el producto infinito

${\displaystyle {\text{e}}={\frac {2\cdot 2^{(\ln(2)-1)^{2}}\cdots }{2^{\ln(2)-1}\cdot 2^{(\ln(2)-1)^{3}}\cdots }}.}$

El desarrollo decimal de e no muestra regularidad alguna. Sin embargo, con las fracciones continuas, que pueden ser normalizadas (con los numeradores todos iguales a 1) o no, obtenemos, en fracción continua normalizada:

${\displaystyle {\text{e}}=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {2} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {4} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {6} +{\cfrac {1}{1+\cdots }}}}}}}}}}}}}}}}}},}$

lo que se escribe ${\displaystyle {\text{e}}=[2;1,{\textbf {2}},1,1,{\textbf {4}},1,1,{\textbf {6}},1,1,{\textbf {8}},1,1,\ldots ,{\textbf {2n}},1,1,\ldots ]}$, propiedad descubierta por Leonhard Euler^[36]​ (A003417 en OEIS). En fracción continua no normalizada se tiene

${\displaystyle {\text{e}}=2+{\frac {2}{2+{\cfrac {3}{3+{\cfrac {4}{4+{\cfrac {5}{5+{\cfrac {6}{6+{\cfrac {7}{7+\cdots }}}}}}}}}}}}}$

En ambos casos, e presenta regularidades no fortuitas.

El número de dígitos conocidos de e ha aumentado enormemente durante las últimas décadas. Esto es debido tanto al aumento del desempeño de las computadoras como también a la mejora de los algoritmos utilizados.^[37]​^[38]​ En 1949, J. von Neumann y su grupo utilizaron el ENIAC para obtener 2010 decimales. D. Shanks y J.W. Wrench hallaron hasta 100.265 en 1961 con la fórmula de Euler con un IBM 7090. Se emplearon 2,5 horas. Ya para 1994, R. Nemiroff y J. Bonnell habían llegado a 10.000.000 de decimales.

En las últimas décadas, los ordenadores fueron capaces de obtener números que poseen una inmensa cantidad de decimales. Así, por ejemplo, en el año 2000, utilizando el programa de cálculo PiFast33 en un ordenador Pentium III 800, se obtuvieron 12 884 901 000 cifras decimales, para lo que se necesitaron 167 horas.

Número de dígitos decimales conocidos de ${\displaystyle {\text{e}}}$

Fecha	Cantidad de cifras	Realizador del cálculo
1690	1	Jacob Bernoulli
1714	13	Roger Cotes[39]​
1748	23	Leonhard Euler[40]​
1853	137	William Shanks[41]​
1871	205	William Shanks[42]​
1884	346	J. Marcus Boorman[43]​
1949	2,010	John von Neumann (en el ENIAC)
1961	100,265	Daniel Shanks y John Wrench[44]​
1978	116,000	Steve Wozniak en el Apple II[45]​
1994	10 000 000	Robert Nemiroff y Jerry Bonnell[46]​
Mayo de 1997	18 199 978	Patrick Demichel
Agosto de 1997	20 000 000	Birger Seifert
Septiembre de 1997	50 000 817	Patrick Demichel
Febrero de 1999	200 000 579	Sebastián Wedeniwski
Octubre de 1999	869 894 101	Sebastián Wedeniwski
21 de noviembre de 1999	1 250 000 000	Xavier Gourdon
10 de julio de 2000	2 147 483 648	Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
16 de julio de 2000	3 221 225 472	Colin Martin y Xavier Gourdon
2 de agosto de 2000	6 442 450 944	Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
16 de agosto de 2000	12 884 901 000	Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
21 de agosto de 2003	25 100 000 000	Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
18 de septiembre de 2003	50 100 000 000	Shigeru Kondo y Xavier Gourdon
27 de abril de 2007	100 000 000 000	Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo
6 de mayo de 2009	200 000 000 000	Shigeru Kondo y Steve Pagliarulo
21 de febrero de 2010	500 000 000 000	Alexander J. Yee[47]​
5 de julio de 2010	1 000 000 000 000	Shigeru Kondo y Alexander J. Yee
24 de junio de 2015	1 400 000 000 000	Matthew Hebert[48]​

En la época computacional del cálculo de e las cifras se han disparado, no solo debido a la potencia de cálculo que estas máquinas son capaces de generar, sino también por el prestigio que conlleva para el constructor de la máquina cuando su marca aparece en la lista de los récords.

Las cien primeras cifras de ${\displaystyle {\text{e}}}$ son:

${\displaystyle {\text{e}}\approx 2,7182818284}$ ${\displaystyle 5904523536}$ ${\displaystyle 0287471352}$ ${\displaystyle 6624977572}$ ${\displaystyle 4709369995}$ ${\displaystyle 9574966967}$ ${\displaystyle 6277240766}$ ${\displaystyle 3035354759}$ ${\displaystyle 4571382178}$ ${\displaystyle 5251664274}$

• No se sabe si ${\displaystyle {\text{e}}}$ es simplemente normal en base 10 (o alguna otra base). Esto es, que cada uno de los diez dígitos del sistema decimal tenga la misma probabilidad de aparición en una expansión decimal.
• No se sabe si ${\displaystyle {\text{e}}^{e}}$ es trascendente
• No se sabe si ${\displaystyle \pi +e}$ y ${\displaystyle \pi \cdot e}$ son irracionales. Se sabe que no son raíces de polinomios de grado inferior a nueve y con coeficientes enteros del orden 10⁹.^[49]​^[50]​

A diferencia del número π, el número e no es tan popular como el primero. Sin embargo, hay cientos de entusiastas que memorizan sus dígitos. El récord actual lo posee Sharma, Rahul con 25 000 cifras memorizadas y la plusmarca de la categoría con malabares es de 571.^[51]​

• El contenido de este artículo incorpora material de una entrada de la Enciclopedia Libre Universal, publicada en español bajo la licencia Creative Commons Compartir-Igual 3.0.

• Descubriendo el número e: el número e como límite de una determinada sucesión.
• Recursos Educativos Sobre el Número e.
• Wikimedia Commons alberga una galería multimedia sobre Número e.
• Las primeras diez mil cifras decimales del número e
• Un millón de cifras del número e.
• Fórmula para el cálculo de límites de sucesiones del tipo 1 elevado a infinito
• Programa para el cálculo de e y de otro gran número de constantes (en inglés)
• ${\displaystyle {\text{e}}}$ Approximations – Wolfram MathWorld
• http://www.numberworld.org/misc_runs/e-500b.html
• The On-line Encyclopedia of Integer Sequences