Las ecuaciones de Friedmann son un conjunto de ecuaciones utilizadas en cosmología física que describen la expansión métrica del espacio en modelos homogéneos e isótropos del universo dentro del contexto de la teoría general de la relatividad. Fueron halladas por Aleksandr Fridman en 1922^[1]​ a partir de las ecuaciones de campo de Einstein para la métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker y un fluido con una densidad de masa ${\displaystyle \rho }$ , ${\displaystyle ([\rho ]=kg/m^{3})}$, y una presión ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle ([p]=N/m^{2}=kg/(s^{2}m))}$, dadas. Las ecuaciones son:

${\displaystyle H^{2}\equiv \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G\rho +\Lambda c^{2}}{3}}-K{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}$

${\displaystyle 3{\frac {\ddot {a}}{a}}=\Lambda c^{2}-4\pi G\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)}$

Símbolo	Nombre
${\displaystyle \Lambda }$	Constante cosmológica, posiblemente causada por la energía del vacío
${\displaystyle G}$	Constante de gravitación
${\displaystyle c}$	Velocidad de la luz
${\displaystyle a}$	Factor de escala del universo
${\displaystyle K}$	Curvatura gaussiana

Si la forma del universo es hiperesférica y ${\displaystyle R}$ es el radio de curvatura (${\displaystyle R_{0}}$ en el momento actual), entonces ${\displaystyle a=R/R_{0}}$. Generalmente, ${\displaystyle K \over a^{2}}$ es la curvatura gaussiana. Si ${\displaystyle K}$ es positiva, entonces el universo es hiperesférico. Si ${\displaystyle K}$ es cero, el universo es plano, y si ${\displaystyle K}$ es negativo, el universo es hiperbólico. Nótese que ${\displaystyle \rho }$ y ${\displaystyle p}$ son función de ${\displaystyle a}$. El parámetro de Hubble, ${\displaystyle H}$, es un indicador de la velocidad de expansión del universo.

Estas ecuaciones a veces se simplifican redefiniendo la densidad de masa y la presión:

${\displaystyle \rho \rightarrow \rho -{\frac {\Lambda c^{2}}{8\pi G}}}$

${\displaystyle p\rightarrow p+{\frac {\Lambda c^{4}}{8\pi G}}}$

para obtener:

${\displaystyle H^{2}\equiv \left({\frac {\dot {a}}{a}}\right)^{2}={\frac {8\pi G}{3}}\rho -K{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}$

${\displaystyle 3{\frac {\ddot {a}}{a}}=-4\pi G\left(\rho +{\frac {3p}{c^{2}}}\right)}$.

El parámetro de Hubble puede cambiar en el tiempo si otros miembros de la ecuación son dependientes del tiempo (en particular la densidad de energía, la energía del vacío y la curvatura). Evaluando el parámetro de Hubble en el momento actual produce que la constante de Hubble que es la constante de proporcionalidad de la ley de Hubble. Aplicado a un fluido con una ecuación de estado dada, las ecuaciones de Friedmann dan como resultado la evolución en el tiempo y la geometría del universo como función de la densidad del fluido.

Algunos cosmólogos llaman a la segunda de estas dos ecuaciones la ecuación de aceleración y se reservan el término ecuación de Friedmann solo para la primera ecuación.

El parámetro de densidad, Ω, se define como la relación de la densidad actual (u observada) ρ respecto a la densidad crítica ρ_c del universo de Friedmann. Una expresión para la densidad crítica se encuentra asumiendo que Λ es cero (como es para todos los universos de Friedmann básicos) y estableciendo la curvatura K igual a cero. Cuando se sustituyen estos parámetros en la primera ecuación de Friedmann se encuentra que

${\displaystyle \rho _{c}={\frac {3H^{2}}{8\pi G}}}$

y se obtiene que la expresión para el parámetro de densidad (útil para comparar diferentes modelos cosmológicos) es:

${\displaystyle \Omega \equiv {\frac {\rho }{\rho _{c}}}={\frac {8\pi G}{3H^{2}}}\rho }$

Este término originalmente fue utilizado como una manera de determinar la geometría del campo en el que ρ_c es la densidad crítica para la que la geometría es plana. Asumiendo una densidad de energía del vacío nula, si Ω es mayor que uno, la geometría es cerrada y el universo eventualmente parará su expansión y entonces se colapsará. Si Ω es menor que uno, será abierto y el universo se expandirá para siempre. Sin embargo, también se pueden sintetizar los términos de curvatura y de la energía del vacío en una expresión más general para Ω en el caso de que este parámetro de densidad de energía sea exactemente igual a la unidad. Entonces es una cuestión de medir los diferentes componentes, normalmente designados por subíndices. De acuerdo con el modelo Lambda-CDM, hay importantes componentes de Ω debido a bariones, materia oscura fría y energía oscura. La geometría del espacio-tiempo fue medida por el satélite WMAP estando cerca de ser una geometría plana, es decir, el parámetro de curvatura K es aproximadamente cero.

La primera ecuación de Friedmann a menudo se escribe formalmente con los parámeros de densidad:

${\displaystyle {\frac {H^{2}}{H_{0}^{2}}}=\Omega _{R}a^{-4}+\Omega _{M}a^{-3}+\Omega _{\Lambda }-Kc^{2}a^{-2}}$

donde

• ${\displaystyle \Omega _{R}}$ es la densidad de radiación actual,
• ${\displaystyle \Omega _{M}}$ es la densidad de materia (oscura más la bariónica) actual, y
• ${\displaystyle \Omega _{\Lambda }}$ es la constante cosmológica o la densidad de vacío actual.

Estableciendo ${\displaystyle a={\tilde {a}}a_{0},\rho _{c}=3H_{0}^{2}/8\pi G,\rho =\rho _{c}\Omega ,t={\tilde {t}}/H_{0},\Omega _{c}=-K/H_{0}^{2}a_{0}^{2}}$ donde ${\displaystyle a_{0}}$ y ${\displaystyle H_{0}}$ son por separado el factor de escala y el parámetro de Hubble actuales. Entonces se puede hallar que:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {d{\tilde {a}}}{d{\tilde {t}}}}\right)^{2}+U_{\rm {eff}}({\tilde {a}})={\frac {1}{2}}\Omega _{c}}$

donde ${\displaystyle U_{eff}({\tilde {a}})=\Omega {\tilde {a}}^{2}/2}$. Para cualquier forma del potencial efectivo ${\displaystyle U_{eff}({\tilde {a}})}$, hay una ecuación de estado ${\displaystyle p=p(\rho )}$ que la producirá.