En matemáticas, un espacio LF, también escrito como (LF)-espacio, es un espacio vectorial topológico (EVT) X que es un límite directo localmente convexo de un sistema inductivo numerable ${\displaystyle (X_{n},i_{nm})}$ de espacios de Fréchet.^[1]​ Esto significa que X es un límite directo de un sistema directo ${\displaystyle (X_{n},i_{nm})}$ en la categoría de los espacios vectoriales topológicos localmente convexos y cada ${\displaystyle X_{n}}$ es un espacio de Fréchet. El acrónimo LF significa Límite de espacios de Fréchet.

Si cada una de las aplicaciones de enlace ${\displaystyle i_{nm}}$ es un embebido de EVTs, entonces el espacio LF se denomina espacio LF estricto. Esto significa que la topología subespacial inducida en X_n por X_n+1 es idéntica a la topología original en X_n.^[1]​^[2]​ Algunos autores (por ejemplo, Schaefer) definen el término "espacio LF" como "espacio LF estricto", por lo que al leer determinados textos matemáticos, se recomienda comprobar siempre cómo está definido el LF-espacio.

En todo momento se supone que:

• ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ es una categoría de espacios topológicos o alguna subcategoría de una categoría de espacios vectoriales topológicos (EVTs);
  • Si todos los objetos de la categoría tienen una estructura algebraica, entonces se supone que todos los morfismos son homomorfismos para esa estructura algebraica.
• I es un conjunto dirigido no vacío;
• X_•= ( X_i )_{i ∈ I} es una familia de objetos en ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, donde (X_i, τ_Xi) es un espacio topológico para cada índice i;
  • Para evitar posibles confusiones, τ_Xi no debería denominarse "topología inicial" de X_i, ya que el término "topología inicial" ya tiene una definición bien conocida. La topología τ_Xi se denomina topología original en X_i o topología dada de X_i.
• X es un conjunto (y si los objetos en ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ también tienen estructuras algebraicas, entonces se supone automáticamente que X tiene cualquier estructura algebraica necesaria);
• f_•= ( f_i )_{i ∈ I} es una familia de aplicaciones donde para cada índice i, la aplicación tiene el prototipo f_i : (X_i, τ_Xi) → X. Si todos los objetos de la categoría tienen una estructura algebraica, entonces también se supone que estas aplicaciones son homomorfismos para esa estructura algebraica.

Si existe, entonces la topología final sobre X en ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, también llamado colímite o topología inductiva en ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, y denotada por τ_f• o τ_f, es la topología más fina en X tal que

1. (X, τ_f) es un objeto en ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ y
2. para cada índice i, la aplicación f_i : (X_i, τ_Xi) → (X, τ_f) es un morfismo continuo en ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

En la categoría de espacios topológicos, la topología final siempre existe y, además, un subconjunto U ⊆ X está abierto (o cerrado) en (X, τ_f) si y solo si f_i^- 1 (U) está abierto (o cerrado) en (X_i, τ_Xi) para cada índice i.

Sin embargo, la topología final no puede existir en la categoría de los espacios topológicos de Hausdorff debido al requisito de que (X, τ_Xf) pertenezca a la categoría original (es decir, pertenezca a la categoría de espacios topológicos de Hausdorff).^[3]​

Supóngase que (I, ≤) es un conjunto dirigido, y que para todos los índices i ≤ j hay morfismos (continuos) en ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

f_i^j : X_i → X_j

de modo que si i= j, entonces f_i^j es la aplicación de identidad en X_i y si i ≤ j ≤ k entonces se cumple la siguiente condición de compatibilidad:

f_i^k= f_j^k ∘ f_i^j,

donde esto significa que la composición

${\displaystyle X_{i}\xrightarrow {f_{i}^{j}} X_{j}\xrightarrow {f_{j}^{k}} X_{k}\;\;\;\;{\text{ es igual a }}\;\;\;\;X_{i}\xrightarrow {f_{i}^{k}} X_{k}.}$

Si se cumplen las condiciones anteriores, entonces el triplete formado por las colecciones de estos objetos, los morfismos y el conjunto de indexación

${\displaystyle \left(X_{\bullet },\left\{f_{i}^{j}\;:\;i,j\in I\;{\text{ y }}\;i\leq j\right\},I\right)}$

se conoce como sistema directo en la categoría ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ que es dirigido (o indexado) por I. Dado que el conjunto de indexación I es un conjunto directo, se dice que el sistema directo está dirigido.^[4]​ Las aplicaciones f_i^j se denominan aplicaciones de enlace, de conexión o de enlace del sistema.

Si se sobreentiende el conjunto de indexación I, entonces I a menudo se omite de la tupla anterior (es decir, no se escribe). Lo mismo ocurre con los aplicaciones de vinculación si no se incluyen. En consecuencia, a menudo se ve escrito "X_• es un sistema directo", donde "X_•" en realidad representa un triplete con las aplicaciones de enlace y el conjunto de indexación definidos en otra parte (por ejemplo, aplicaciones de enlace canónicas, como inclusiones naturales) o bien los aplicaciones de enlace simplemente se supone que existen pero no es necesario asignarles símbolos (por ejemplo, los aplicaciones de enlace no son necesarios para enunciar un teorema).

Para la construcción de un límite directo de un sistema inductivo general, consúltese el artículo "límite directo".

Límites directos de los sistemas inyectivos

Si cada una de las aplicaciones de enlace ${\displaystyle f_{i}^{j}}$ es inyectiva, entonces el sistema se llama inyectivo.^[4]​

Supuestos: En el caso en que el sistema directo es inyectivo, a menudo se supone sin pérdida de generalidad que para todos los índices i ≤ j, cada X_i es un subespacio vectorial de X_j (en particular, X_i se identifica con el rango de ${\displaystyle f_{i}^{j}}$) y que el mapa de enlace ${\displaystyle f_{i}^{j}}$ es la inclusión natural

Inj
i : X_i → X_j }}

(es decir, definida por x ↦ x) de modo que la topología del subespacio en X_i inducida por X_j sea weaker (i.e. coarser) que la topología original (es decir, dada) en X_i.

En este caso, tómese también

X := ∪i ∈ I X_i.

Las aplicaciones límite son entonces las inclusiones naturales In_i : X_i → X. La topología de límite directo en X es la topología final inducida por estas aplicaciones de inclusión.

Si los X_i tienen una estructura algebraica, póngase por caso suma, por ejemplo, entonces para cualquier x, y ∈ X, se elige cualquier índice i tal que x, y ∈ X_i y luego se define su suma usando el operador de suma de X_i. Esto es,

x + y := x +_i y,

donde +_i es el operador de suma de X_i. Esta suma es independiente del índice i que se elija.

En la categoría de espacios vectoriales topológicos localmente convexos, la topología en el límite directo X de un límite inductivo dirigido inyectivo de espacios localmente convexos se puede describir especificando que un subconjunto absolutamente convexo U de X ) es un entorno de 0 si y solo si U ∩ X_i es un entorno absolutamente convexo de 0 en X_i para cada índice i.^[4]​

Límites directos en categorías de espacios topológicos

Los límites directos de los sistemas directos dirigidos siempre existen en las categorías de conjuntos, espacios topológicos, grupos y EVTs localmente convexos. En la categoría de espacios topológicos, si cada aplicación de enlace f_i^j es inyectiva (respectivamente, sobreyectiva, biyectiva, homeomorfismo, embebido, o aplicación cociente), entonces también lo es cada f_i : X_i → X.^[3]​

Los límites directos en las categorías de espacios topológicos, espacios vectoriales topológicos (EVTs) y EVTs localmente convexos de Hausdorff se "comportan mal".^[4]​ Por ejemplo, el límite directo de una secuencia (es decir, indexada por los números naturales) de espacios de Fréchet nucleares localmente convexos puede no ser de Hausdorff (en cuyo caso, el límite directo no existe en la categoría de EVTs de Hausdorff). Por esta razón, en análisis funcional solo se estudian ciertos sistemas directos "de buen comportamiento". Estos sistemas incluyen a los espacios LF.^[4]​ Sin embargo, los límites inductivos localmente convexos no de Hausdorff aparecen en cuestiones naturales de análisis.^[4]​

Si cada una de las aplicaciones de enlace ${\displaystyle f_{i}^{j}}$ es un embebido de un EVT en subespacios vectoriales adecuados y si el sistema está dirigido por ${\displaystyle \mathbb {N} }$ con su ordenamiento natural, entonces el límite resultante se llama límite directo (numerable) estricto. En tal situación, se puede suponer sin pérdida de generalidad que cada X_i es un subespacio vectorial de X_i+1 y que la topología del subespacio inducida en X_i por X_i+1 es idéntica a la topología original en X_i.^[1]​

En la categoría de espacios vectoriales topológicos localmente convexos, la topología en un límite inductivo estricto de los espacios de Fréchet X se puede describir especificando que un subconjunto absolutamente convexo U es un entorno de 0 si y solo si U ∩ X_n es un entorno absolutamente convexo de 0 en X_n por cada n.

Un límite inductivo en la categoría de EVTs localmente convexos de una familia de espacios bornológicos (respectivamente, barrilado, cuasi barrilado) tiene esta misma propiedad.^[5]​

Cada espacio LF es un subconjunto exiguo de sí mismo.^[6]​ El límite inductivo estricto de una secuencia de espacios localmente convexos completos (como los espacios de Fréchet) es necesariamente completo. En particular, cada espacio LF está completo.^[7]​ Cada espacio LF es barrilado y bornológico, lo que junto con la integridad implica que cada espacio LF es ultrabornológico. Un espacio LF que es el límite inductivo de una secuencia numerable de espacios separables es separable.^[8]​ Los espacios LF son distinguidos, y sus duales fuertes son bornológicos y barrilados (un resultado debido a Alexander Grothendieck).

Si X es el límite inductivo estricto de una secuencia creciente de espacios de Fréchet X_n, entonces un subconjunto B de X está acotado en X si y solo si existe algún n tal que B sea un subconjunto acotado de X_n.^[7]​

Una aplicación lineal desde un espacio LF a otro EVT es continua si y solo si es secuencialmente continua.^[9]​ Una aplicación lineal desde un espacio LF X a un espacio de Fréchet Y es continua si y solo si su grafo está cerrada en X × Y.^[10]​ Cada operador lineal acotado desde un espacio LF a otro EVT es continuo.^[11]​

Si X es un espacio LF definido por una secuencia ${\displaystyle \left(X_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$, entonces el espacio dual fuerte ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ de X es un espacio de Fréchet si y solo si todos los X_i son normables.^[12]​ Por lo tanto, el espacio dual fuerte de un espacio LF es un espacio de Fréchet si y solo si es un espacio LB.

Un ejemplo típico de un espacio LF es ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$, el espacio de todas las funciones infinitamente diferenciables en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ con soporte compacto. La estructura del espacio LF se obtiene considerando una secuencia de conjuntos compactos ${\displaystyle K_{1}\subset K_{2}\subset \ldots \subset K_{i}\subset \ldots \subset \mathbb {R} ^{n}}$ con ${\displaystyle \bigcup _{i}K_{i}=\mathbb {R} ^{n}}$ y para todo i, ${\displaystyle K_{i}}$ es un subconjunto del interior de ${\displaystyle K_{i+1}}$. Tal secuencia podría ser el conjunto de las bolas de radio "i" centradas en el origen. El espacio ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(K_{i})}$ de funciones infinitamente diferenciables en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ con soporte compacto contenido en ${\displaystyle K_{i}}$ tiene una estructura natural de espacio de Fréchet y ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ hereda su estructura de espacio LF como se describió anteriormente. La topología del espacio LF no depende de la secuencia particular de conjuntos compactos ${\displaystyle K_{i}}$.

Con esta estructura de espacio LF, ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ se conoce como el espacio de funciones de prueba, de fundamental importancia en la teoría de distribuciones.

Supóngase que para cada entero positivo n, X_n := ${\displaystyle \mathbb {R} }$ⁿ y que m < n; considérese también X_m como un subespacio vectorial de X_n a través del embebido canónico X_m → X_n definido por x := (x₁, ..., x_m) ↦ (x₁, ..., x_m, 0, ..., 0).

Denótese el espacio LF resultante por X. Dado que cualquier topología sobre un EVT X hace continuas las inclusiones de los X_m en X, este último espacio tiene el máximo entre todas las topologías del EVT en un espacio vectorial ${\displaystyle \mathbb {R} }$ con dimensión de Hamel numerable. Es una topología LC, asociada con la familia de todas las seminormas en X. Además, la topología del límite inductivo del EVT X coincide con el límite inductivo topológico; es decir, el límite directo de los espacios de dimensión finita X_n en la categoría de espacios topológicos y en la categoría de EVTs coinciden. El espacio dual continuo ${\displaystyle X^{\prime }}$ de X es igual al espacio dual de X, es decir, el espacio de todas las secuencias con valores reales ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ y la topología débil en ${\displaystyle X^{\prime }}$ es igual a la topología fuerte en ${\displaystyle X^{\prime }}$ (es decir, ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }=X_{b}^{\prime }}$).^[13]​. De hecho, es la topología LC única en ${\displaystyle X^{\prime }}$ cuyo espacio dual topológico es X. Además, la aplicación canónica de X en el espacio dual continuo de ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ es sobreyectiva.^[13]​

• Espacio DF
• Límite directo
• Topología final
• Espacio F
• Espacio LB

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