En matemáticas, la función zeta de Hurwitz es una de las muchas funciones zeta. Se la define formalmente para un argumento complejo s y un argumento real q como

${\displaystyle \zeta (s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+q)^{-s}.}$

Esta sucesión es convergente para q > 0 y Re(s) > 1. Si q es un entero no positivo se supone que los términos en la sucesión con denominador nulo no son considerados. Sin embargo, por lo general uno se limita a 0 < q ≤ 1, lo cual simplifica muchas de las fórmulas aplicables a esta función.

Notar que en realidad no hay nada que evite que la variable q sea compleja (en cuyo caso, Re(q)>0 es una restricción natural, aunque no sea una condición necesaria). Dicha extensión es necesaria para la fórmula de Schwinger para el ritmo de producción de pares de electrones (vide infra).

La función zeta de Hurwitz puede tener una extensión analítica a una función meromórfica definida para todos los números complejos s con s ≠ 1. En s = 1 posee un polo simple con residuo 1. El término constante ésta dado por

${\displaystyle \lim _{s\to 1}\left[\zeta (s,q)-{\frac {1}{s-1}}\right]={\frac {-\Gamma '(q)}{\Gamma (q)}}=-\psi (q)}$

donde Γ es la función Gamma y ψ es la función digamma.

En 1930 Helmut Hasse encontró la representación en forma de sucesión convergente definida por q > −1 y para todo número complejo s ≠ 1:^[1]​

${\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(q+k)^{1-s}.}$

Esta sucesión converge uniformemente en un subconjunto compacto del plano s a una función entera. La suma interna debe ser comprendida como la n-ésima diferencia progresiva de ${\displaystyle q^{1-s}}$; o sea,

${\displaystyle \Delta ^{n}q^{1-s}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}(q+k)^{1-s}}$

donde Δ es el operador diferencia progresiva. Por lo tanto, es válido que

${\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\Delta ^{n}q^{1-s}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{s-1}}{\log(1+\Delta ) \over \Delta }q^{1-s}.}$

La función posee una representación integral en función de la transformada de Mellin. La misma es:

${\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}}{e^{qt}\left(1-e^{-t}\right)}}dt}$

para ${\displaystyle \Re s>1}$ y ${\displaystyle \Re q>0}$.

La fórmula de Hurwitz establece el siguiente teorema:

${\displaystyle \zeta (1-s,x)={\frac {1}{2s}}\left[e^{-i\pi s/2}\beta (x;s)+e^{i\pi s/2}\beta (1-x;s)\right]}$

con

${\displaystyle \beta (x;s)=2\Gamma (s+1)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi inx)}{(2\pi n)^{s}}}={\frac {2\Gamma (s+1)}{(2\pi )^{s}}}{\mbox{Li}}_{s}(e^{2\pi ix})}$

es una representación del zeta que es válido para ${\displaystyle 0\leq x\leq 1}$ y ${\displaystyle s>1}$. Donde, ${\displaystyle {\mbox{Li}}_{s}(z)}$ es el polilogaritmo.

• Tom M. Apostol Introduction to Analytic Number Theory, (1976) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9 (See Chapter 12)
• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. (See Paragraph 6.4.10 for relationship to polygamma function.)
• Djurdje Cvijović and Jacek Klinowski, "Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments", Mathematics of Computation 68 (1999), 1623-1630.
• Victor S. Adamchik, Derivatives of the Hurwitz Zeta Function for Rational Arguments Archivado el 16 de marzo de 2010 en Wayback Machine., Journal of Computational and Applied Mathematics, 100 (1998), pp 201--206.
• Linas Vepstas, Los Operadores Bernoulli, Gauss-Kuzmin-Wirsing, & Riemann Zeta