En la teoría de polinomios, el lema de Gauss, o Criterio de la irreducibilidad de Gauss, afirma que si
es un dominio de factorización única (DFU) y
es su cuerpo de cocientes (o cuerpo de fracciones), entonces el contenido de dos polinomios dados con coeficientes en
es el producto de contenidos y todo polinomio primitivo
es irreducible en
si y sólo si lo es en
.
El Criterio de irreducibilidad de Gauss proporciona un resultado muy útil para demostrar ciertas propiedades de divisibilidad en anillos de polinomios: por la equivalencia que señala el criterio entre la irreducibilidad de un polinomio primitivo en
y la irreducibilidad del mismo polinomio en
, puede demostrarse que al ser
un DFU también lo es
.
Así, se tiene como corolario que si
es un DFU entonces también lo es
, sea o no este último anillo un dominio de ideales principales (DIP). Por ejemplo,
no es un DIP pero sí es un DFU.
También se puede usar el lema para demostrar el criterio de Eisenstein, muy útil para identificar polinomios irreducibles en los racionales.
Ejemplo de uso[editar]
Hallemos las raíces racionales del polinomio racional
![{\displaystyle f=x^{8}+8/3x^{7}+1/3x^{6}-14/3x^{5}-14/3x^{4}-4/3x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19ec833377d51e603b7034af1eaaa7660b47ff6b)
Limpiando los denominadores de
se obtiene el polinomio entero
con las mismas raíces:
![{\displaystyle g=3x^{8}+8x^{7}+x^{6}-14x^{5}-14x^{4}-4x^{3}=x^{3}(3x^{5}+8x^{4}+x^{3}-14x^{2}-14x-4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30e2846293eeb58615bd83e54f56aeb8710461ca)
Claramente, 0 es raíz de multiplicidad 3 de
(y de
), y las restantes raíces racionales son las de
![{\displaystyle h=3x^{5}+8x^{4}+x^{3}-14x^{2}-14x-4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d099ca73a68aaf4e67de2c6e5a7044a7c3529d2)
Aquí,
y
.
Los divisores de
son
y los divisores de
son
, luego las raíces racionales se buscan en el conjunto:
![{\displaystyle \{\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 1/3,\pm 2/3,\pm 4/3\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb9fe96601f3bfc86757fbda460325735772d3ad)
Chequeando uno obtiene que
y
.
Así, las raíces racionales distintas de
son
y
, para conocer con que multiplicidad, se puede o bien dividir
por
y volver a evaluar el cociente en
y
. O bien también se puede derivar
:
![{\displaystyle h'=15x^{4}+32x^{3}+3x^{2}-28x-14}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f70e92e8edb83db5351b07ec6c0a73ae9fd779c)
y se tiene que
mientras que
. O sea
es raíz de multiplicidad ≥ 2 y
es raíz simple.
Volviendo a derivar
:
y
.
Se concluye que -1 es raíz doble de
.
Finalmente la factorización de
en
es:
![{\displaystyle h=3(x+1)^{2}(x+2/3)(x^{2}-2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06f2865db192a851d45e7448f0b760639380b28e)
Y dado que
, resulta la siguiente factorización de
en
:
![{\displaystyle f=x^{3}(x+1)^{2}(x+2/3)(x^{2}-2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71d080642ff3a1507d7302b73abfc7d9da2658bd)
Enlaces externos[editar]