En geometría diferencial, una métrica de Kähler-Einstein en una variedad compleja es una métrica de Riemann que es a la vez una métrica de Kähler y una métrica de Einstein. Se dice que una variedad es Kähler-Einstein si admite una métrica de Kähler-Einstein. El caso especial más importante de estos son los colectores de Calabi-Yau, que son Kähler y Ricci plano.

El problema más importante para esta área es la existencia de métricas Kähler-Einstein para colectores Kähler compactos.

En el caso en el que hay una métrica de Kähler, la curvatura de Ricci es proporcional a la métrica de Kähler. Por lo tanto, la primera clase de Chern es negativa, cero o positiva.

Cuando la primera clase de Chern es negativa, Aubin y Yau demostraron que siempre hay una métrica de Kähler-Einstein.

Cuando la primera clase de Chern es cero, Yau demostró la conjetura de Calabi de que siempre hay una métrica de Kähler-Einstein. Shing-Tung Yau fue galardonado con su medalla Fields debido a este trabajo. Eso lleva al nombre de variedades de Calabi-Yau.

El tercer caso, el positivo o el caso Fano, es el más difícil. En este caso, hay una obstrucción no trivial a la existencia. En 2012, Chen, Donaldson y Sun demostraron que en este caso la existencia es equivalente a un criterio algebro-geométrico llamado K-estabilidad. Su prueba apareció en una serie de artículos en el Journal of the American Mathematical Society.^[1]​ ^[2]​^[3]​

Cuando la primera clase de Chern no es definitiva, o tenemos una dimensión de Kodaira intermedia, encontrar la métrica canónica sigue siendo un problema abierto, que se denomina conjetura de Algebrización mediante el Teorema de Modelo Mínimo Analítico.^[4]​ Conjetura de unificación de geometrización con conjetura de algebrización y conjetura de análisis referida como teorema de Song-Tian^[5]​