Notación de Coxeter

Dominios fundamentales
de los grupos de puntos de reflexión 3D
, $[ ]= [1] C 1v$	, $[2] C 2v$	, $[3] C 3v$	, $[4] C 4v$	, $[5] C 5v$	, $[6] C 6v$
Orden 2	Orden 4	Orden 6	Orden 8	Orden 10	Orden 12
$[2]= [2,1] D 1h$	$[2,2] D 2h$	$[2,3] D 3h$	$[2,4] D 4h$	$[2,5] D 5h$	$[2,6] D 6h$
Orden 4	Orden 8	Orden 12	Orden 16	Orden 20	Orden 24
, $[3,3], T d$		, $[4,3], O h$		, $[5,3], I h$
Order 24		Order 48		Order 120
La notación de Coxeter expresa el grupo de Coxeter como una lista de órdenes de ramas de un diagrama de Coxeter-Dynkin, como grupo poliédrico, $= [p,q]$ . Los grupos diédricos, , se pueden expresar como un producto $[ ]\times[n]$ o en un solo símbolo con una rama explícita de orden 2, $[2, n]$ .

En geometría, la notación de Coxeter (de la que forman parte los símbolos de Coxeter) es un sistema de clasificación de grupos de simetría, que describe los ángulos entre las reflexiones fundamentales de un grupo de Coxeter mediante una notación entre corchetes que expresa la estructura de un diagrama de Coxeter-Dynkin, con modificadores para indicar ciertos subgrupos. La notación lleva el nombre de Harold Scott MacDonald Coxeter y fue definida de manera más completa por Norman Johnson.

Grupos reflexivos

Véase también: Grupo puntual

Para los grupos de Coxeter, definidos exclusivamente con operaciones de reflexión, existe una correspondencia directa entre la notación de corchetes y los diagramas de Coxeter-Dynkin. Los números entre paréntesis representan los órdenes de reflexión especular en las ramas del diagrama de Coxeter. Utiliza la misma simplificación, suprimiendo 2s entre espejos ortogonales.

La notación de Coxeter se simplifica con exponentes para representar el número de ramas en una fila para un diagrama lineal. Así que el grupo A_n está representado por [3ⁿ⁻¹], lo que implica n nodos conectados por n-1 ramas de orden 3. El ejemplo A₂ = [3,3] = [3²] o [3^1,1] representa los diagramas o .

Coxeter inicialmente representó diagramas bifurcados con los números situados verticalmente, pero luego los abrevió con una notación exponencial, como [...,3^p,q] o [3^p,q,r], comenzando con [3^1,1,1] o [3,3^1,1] = o como D₄. Coxeter permitió el uso de ceros como casos especiales para ajustarse a la familia A_n, como A₃ = [3,3,3,3] = [3^4,0,0] = [3^4,0] = [3^3,1] = [3^2,2], como = = .

Los grupos de Coxeter formados por diagramas cíclicos se representan mediante paréntesis dentro de corchetes, como [(p,q,r)] = para el grupo triangular (p q r). Si los órdenes de ramificación son iguales, se pueden agrupar como un exponente según la duración del ciclo entre paréntesis, como [(3,3,3,3)] = [3^[4]], que representa el diagrama de Coxeter o . se puede representar como [3,(3,3,3)] o [3,3^[3]].

Los diagramas de bucle más complicados también se pueden expresar utilizando la notación con cuidado. El grupo de Coxeter paracompacto se puede representar mediante la notación de Coxeter [(3,3,(3),3,3)], con paréntesis anidados/superpuestos que muestran dos bucles adyacentes [(3,3,3)], y también se representa de forma más compacta como [3^[ ]×[ ]], que representa el diagrama de Coxeter de la simetría rómbica. El diagrama de gráfico completo paracompacto o , se representa como [3^[3,3]] con el superíndice [3,3] como la simetría de su diagrama de Coxeter de un tetraedro.

El diagrama de Coxeter normalmente deja ramas de orden 2 sin dibujar, pero la notación de paréntesis incluye un 2 explícito para conectar los subgráficos. Entonces, el diagrama de Coxeter = A₂×A₂ = 2A₂ se puede representar mediante [3]×[3] = [3]² = [3,2,3 ]. A veces, las 2 ramas explícitas pueden incluirse con una etiqueta 2 o con una línea con un espacio: o , como una presentación idéntica a [3,2,3].

Grupos finitos
Rango	Símbolo del grupo	Notación de corchetes	Diagrama de Coxeter
2	A₂	[3]
2	B₂	[4]
2	H₂	[5]
2	G₂	[6]
2	I₂(p)	[p]
3	I_h, H₃	[5,3]
3	T_d, A₃	[3,3]
3	O_h, B₃	[4,3]
4	A₄	[3,3,3]
4	B₄	[4,3,3]
4	D₄	[3^1,1,1]
4	F₄	[3,4,3]
4	H₄	[5,3,3]
n	A_n	[3ⁿ⁻¹]	..
n	B_n	[4,3ⁿ⁻²]	...
n	D_n	[3^n−3,1,1]	...
6	E₆	[3^2,2,1]
7	E₇	[3^3,2,1]
8	E₈	[3^4,2,1]

Grupos afines
Símbolo del grupo	Notación de corchetes	Diagrama de Coxeter
${\tilde {I}}_{1},{\tilde {A}}_{1}$	[∞]
${\tilde {A}}_{2}$	[3^[3]]
${\tilde {C}}_{2}$	[4,4]
${\tilde {G}}_{2}$	[6,3]
${\tilde {A}}_{3}$	[3^[4]]
${\tilde {B}}_{3}$	[4,3^1,1]
${\tilde {C}}_{3}$	[4,3,4]
${\tilde {A}}_{4}$	[3^[5]]
${\tilde {B}}_{4}$	[4,3,3^1,1]
${\tilde {C}}_{4}$	[4,3,3,4]
${\tilde {D}}_{4}$	[ 3^1,1,1,1]
${\tilde {F}}_{4}$	[3,4,3,3]
${\tilde {A}}_{n}$	[3^[n+1]]	... or ...
${\tilde {B}}_{n}$	[4,3ⁿ⁻³,3^1,1]	...
${\tilde {C}}_{n}$	[4,3ⁿ⁻²,4]	...
${\tilde {D}}_{n}$	[ 3^1,1,3ⁿ⁻⁴,3^1,1]	...
${\tilde {E}}_{6}$	[3^2,2,2]
${\tilde {E}}_{7}$	[3^3,3,1]
${\tilde {E}}_{8}=E_{9}$	[3^5,2,1]

Grupos hiperbólicos
Símbolo del grupo	Notación de corchetes	Diagrama de Coxeter
	[p,q] con 2(p + q) < pq
	[(p,q,r)] con ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{r}}<1$
${\overline {BH}}_{3}$	[4,3,5]
${\overline {K}}_{3}$	[5,3,5]
${\overline {J}}_{3},{\tilde {H}}_{3}$	[3,5,3]
${\overline {DH}}_{3}$	[5,3^1,1]
${\widehat {AB}}_{3}$	[(3,3,3,4)]
${\widehat {AH}}_{3}$	[(3,3,3,5)]
${\widehat {BB}}_{3}$	[(3,4,3,4)]
${\widehat {BH}}_{3}$	[(3,4,3,5)]
${\widehat {HH}}_{3}$	[(3,5,3,5)]
${\overline {H}}_{4},{\tilde {H}}_{4},H_{5}$	[3,3,3,5]
${\overline {BH}}_{4}$	[4,3,3,5]
${\overline {K}}_{4}$	[5,3,3,5]
${\overline {DH}}_{4}$	[5,3,3^1,1]
${\widehat {AF}}_{4}$	[(3,3,3,3,4)]

Para los grupos afines e hiperbólicos, el subíndice es uno menos que el número de nodos en cada caso, ya que cada uno de estos grupos se obtuvo sumando un nodo al diagrama de un grupo finito.

Subgrupos

La notación de Coxeter representa la simetría rotacional/traslacional agregando un operador de superíndice ⁺ fuera de los corchetes, [X]⁺ que corta el orden del grupo [X] a la mitad, resultando por lo tanto un subgrupo de índice 2. Este operador implica que se debe aplicar un número par de operadores, reemplazando reflexiones con rotaciones (o traslaciones). Cuando se aplica a un grupo de Coxeter, se denomina subgrupo directo porque lo que queda son solo isometrías directas sin simetría reflexiva.

Los operadores ⁺ también se pueden aplicar dentro de los corchetes, como [X,Y⁺] o [X,(Y,Z)⁺], con lo que se crean subgrupos "semidirectos" que pueden incluir generadores de reflexión y no de reflexión. Los subgrupos semidirectos solo se pueden aplicar a los subgrupos de grupos de Coxeter que tienen ramas de orden pares adyacentes. A los elementos entre paréntesis dentro de un grupo de Coxeter se les puede dar un operador de superíndice ⁺, que tiene el efecto de dividir las ramas ordenadas adyacentes en medio orden, por lo que generalmente solo se aplica con números pares. Por ejemplo, [4,3⁺] y [4,(3,3)⁺] ().

Si se aplica con una rama impar adyacente, no crea un subgrupo de índice 2, sino que crea dominios fundamentales superpuestos, como [5,1⁺] = [5/2], que pueden definir polígonos doblemente recubiertos como la estrella pentagonal, 5 /2, y [5,3⁺] se relaciona con el triángulo de Schwarz [5/2,3], de densidad 2.

Ejemplos de grupos de rango 2
Grupo	Orden	Generadores	Subgrupo		Orden	Generadores	Notas
[p]	2p	{0,1}	[p]⁺		p	{01}	Subgrupo directo
[2p⁺]= [2p]⁺	2p	{01}	[2p⁺]⁺= [2p]⁺²= [p]⁺		p	{0101}	Subgrupo directo
[2p]	4p	{0,1}	[1⁺,2p]= [p]	= =	2p	{101,1}	Semi subgrupos
			[2p,1⁺]= [p]	= =	2p	{0,010}	Semi subgrupos
			[1⁺,2p,1⁺]= [2p]⁺²= [p]⁺	= =	p	{0101}	Cuartos de grupo

Los grupos sin elementos vecinos ⁺ se pueden ver en los nodos anillados. El diagrama de Coxeter-Dynkin para politopos uniformes y panales está relacionado con los nodos agujero y con los elementos ⁺, en forma de círculos vacíos con los nodos alternados eliminados. Por ejemplo, el cubo romo, tiene simetría [4,3]⁺ (), el icosaedro, tiene simetría [4,3⁺] (), y un tetraedro, h4,3 = 3,3 ( o = ) tiene simetría [1⁺,4,3] = [3,3] ( o = = ).

Nota: La simetría tetraédrica se puede escribir como , separando el gráfico con espacios para una mayor claridad, con los generadores 0,1,2 del grupo de Coxeter , produciendo generadores piritoédricos 0,12, una reflexión y rotación triple. Y la simetría tetraédrica quiral se puede escribir como o , [1⁺,4,3⁺] = [3,3]⁺, con generadores 12,0120.

Reducción a la mitad de subgrupos y grupos extendidos

Véase también: #Simetría extendida

Ejemplo de operaciones
de reducción a la mitad

[1,4,1]= [4]	= = [1⁺,4,1]=[2]=[ ]×[ ]

= = [1,4,1⁺]=[2]=[ ]×[ ]	= = = [1⁺,4,1⁺]= [2]⁺

Simetría tetraédrica	Simetría octaédrica
T_d, [3,3]= [1⁺,4,3] = = (Orden 24)	O_h, [4,3]= [[3,3]] (Orden 48)

Johnson extiende el operador ⁺ para trabajar con un marcador de posición de nodos 1⁺, lo que elimina espejos, duplicando el tamaño del dominio fundamental y cortando el orden del grupo a la mitad.^[1] En general, esta operación solo se aplica a espejos individuales delimitados por ramas de orden par. El 1 representa un espejo, por lo que [2p] puede verse como [2p,1], [1,2p] o [1,2p,1], como el diagrama o , con 2 espejos relacionados por un ángulo diedro de orden 2p. El efecto de la eliminación de un espejo es duplicar los nodos de conexión, lo que se puede ver en los diagramas de Coxeter: = , o entre paréntesis: [1⁺,2p, 1] = [1,p,1] = [p].

Cada uno de estos espejos se puede quitar para que h[2p] = [1⁺,2p,1] = [1,2p,1⁺] = [p], con un índice de subgrupo reflexivo 2. Esto se puede mostrar en un diagrama de Coxeter agregando un símbolo ⁺ sobre el nodo: = = .

Si se eliminan ambos espejos, se genera un subgrupo de un cuarto, y el orden de la rama se convierte en un punto de giro de la mitad del orden:

q[2p] = [1⁺,2p,1⁺] = [p]⁺, un subgrupo rotacional de índice 4.

=

.

Por ejemplo, (con p=2): [4,1⁺] = [1⁺,4] = [2] = [ ]×[ ], orden 4. [1⁺,4,1⁺] = [2] ⁺, orden 2.

Lo opuesto a reducir a la mitad es duplicar,^[2] una operación que agrega un espejo, divide en dos un dominio fundamental y duplica el orden del grupo.

[[p]] = [2p]

Las operaciones de reducción a la mitad se aplican a grupos de mayor rango, como por ejemplo la simetría tetraédrica que es un medio grupo de la simetría octaédrica: h[4,3] = [1⁺,4,3] = [3,3], eliminando la mitad de los espejos en las 4 ramas. El efecto de la eliminación de un espejo es duplicar todos los nodos de conexión, lo que se puede ver en los diagramas de Coxeter: = , h[2p,3] = [1⁺,2p,3] = [(p,3,3)] .

Si los nodos están indexados, la mitad de los subgrupos se pueden etiquetar con nuevos espejos como compuestos. Al igual que , los generadores {0,1} tienen un subgrupo = , con generadores {1,010}, donde se elimina el espejo 0 y se reemplaza por una copia del espejo 1 reflejada en el espejo 0. También dado , generadores {0,1,2}, tiene medio grupo = , con generadores {1,2,010}.

La duplicación mediante la adición de un espejo también se aplica al invertir la operación de reducción a la mitad: [[3,3]] = [4,3], o más generalmente [[(q,q,p)]] = [2p,q].

Subgrupos radicales

Johnson también agregó un operador asterisco o estrella * para subgrupos "radicales",^[3] que actúa de manera similar al operador ⁺, pero elimina la simetría rotacional. El índice del subgrupo radical es el orden del elemento eliminado. Por ejemplo, [4,3*] ≅ [2,2]. El subgrupo eliminado [3] es de orden 6, por lo que [2,2] es un subgrupo de índice 6 de [4,3].

Los subgrupos radicales representan la operación inversa a una operación simetría extendida. Por ejemplo, [4,3*] ≅ [2,2] y, al revés, [2,2] se puede extender como [3[2,2]] ≅ [4,3]. Los subgrupos se pueden expresar como un diagrama de Coxeter: o ≅ . El nodo eliminado (espejo) hace que los espejos virtuales adyacentes se conviertan en espejos reales.

Si [4,3] tiene generadores {0,1,2}, [4,3⁺], índice 2, tiene generadores {0,12}; [1⁺,4,3] ≅ [3,3], el índice 2 tiene generadores {010,1,2}; mientras que el subgrupo radical [4,3*] ≅ [2,2], índice 6, tiene generadores {01210, 2, (012)³}; y finalmente [1⁺,4,3*], el índice 12 tiene generadores {0(12)²0, (012)²01}.

Subgrupos triónicos

Un subgrupo triónico es un subgrupo de índice 3. Johnson define un "subgrupo triónico" con el operador ⅄, que indica el índice 3. Para los grupos Coxeter de rango 2, [3], el subgrupo triónico, [3^⅄] es [ ], un solo espejo. Y para [3p], el subgrupo triónico es [3p]^⅄ ? [p]. Dado , con generadores 0,1, tiene 3 subgrupos triónicos. Se pueden diferenciar poniendo el símbolo ? junto al generador de espejos a eliminar, o en una rama para ambos: [3p,1^⅄] = = , = , y [3p ^⅄] = = con generadores 0,10101, 01010,1 o 101,010.

Subgrupos triónicos de simetría tetraédrica: [3,3]^⅄ ⅄ [2⁺,4], relacionando la simetría del tetraedro y del disfenoide.

Para los grupos de Coxeter de rango 3, [p,3], hay un subgrupo triónico [p,3^⅄] ⅄ [p/2,p], o = . Por ejemplo, el grupo finito [4,3^⅄] ≅ [2,4] y el grupo euclidiano [6,3^⅄] ≅ [3,6] y el grupo hiperbólico [8,3^⅄] ≅ [4,8].

Una rama adyacente de orden impar, p, no disminuirá el orden del grupo, sino que creará dominios fundamentales superpuestos. El orden del grupo permanece igual, mientras que su densidad aumenta. Por ejemplo, la simetría icosaédrica [5,3] del icosaedro regular, se convierte en [5/2,5], que es la simetría de 2 poliedros regulares en estrella. También relaciona las teselaciones hiperbólicas p,3 y teselados hiperbólicos estrellados p/2,p

Ejemplo de rango 2, [6] subgrupos triónicos con 3 colores de líneas especulares	Rango 4	Ejemplo de simetría octaédrica: [4,3^⅄]= [2,4]	Los subgrupos triónicos de ejemplo en simetría octogonal [8,3] aplicados sobre simetrías más grandes [4,8]

Para el rango 4, [q,2p,3^⅄] = [2p,((p,q,q))], = .

Por ejemplo, [3,4,3^⅄] = [4,3,3], o = , generadores 0,1,2,3 en [3,4,3] con el subgrupo triónico [4,3 ,3] con generadores {0,1,2,32123}. Para grupos hiperbólicos, [3,6,3^⅄] = [6,3^[3]] y [4,4,3^⅄] = [4,4,4].

Subgrupos triónicos de simetría tetraédrica

Johnson identificó dos subgrupos triónicos^[4] de [3,3], primero un subgrupo de índice 3 [3,3]^⅄ ≅ [2⁺,4], con [3,3] ( = = ) y generadores {0,1,2}. También se puede escribir como [(3,3,2^⅄)] () como recordatorio de sus generadores {02,1}. Esta reducción de simetría es la relación entre el tetraedro regular y el disfenoide, y representan un estiramiento de un tetraedro en sentido perpendicular a dos aristas opuestas.

En segundo lugar, identifica un subgrupo de índice 6 relacionado con [3,3]^Δ o [(3,3,2^⅄)]⁺ (), índice 3 de [3,3]⁺ ≅ [2,2]⁺, con generadores {02,1021}, de [3,3] y sus generadores {0,1,2}.

Estos subgrupos también se aplican dentro de grupos de Coxeter más grandes con el subgrupo [3,3] con ramas vecinas, todo en orden uniforme.

Por ejemplo, [(3,3)⁺,4], [(3,3)^⅄,4] y [(3,3)^Δ,4] son subgrupos de [3,3,4], índice 2, 3 y 6 respectivamente. Los generadores de [(3,3)^⅄,4] ≅ [[4,2,4]] ≅ [8,2⁺,8], orden 128, son {02,1,3} de [3,3,4] y generadores {0,1,2 ,3}. Y [(3,3)^Δ,4] ≅ [[4,2⁺,4]], orden 64, tiene generadores {02,1021,3}. Además, [3^⅄,4,3^⅄] ≅ [(3,3)^⅄,4].

También relacionado, [3^1,1,1] = [3,3,4,1⁺] tiene subgrupos triónicos: [3^1,1,1]^⅄ = [(3,3)^⅄,4,1⁺], orden 64 y 1=[3^1,1,1]^Δ = [( 3,3)^Δ,4,1⁺] ≅ [[ 4,2⁺,4]]⁺, orden 32.

Inversión central

Una simetría central de orden 2, es operativamente diferente por dimensión. El grupo [ ]ⁿ = [2ⁿ⁻¹] representa n espejos ortogonales en un espacio n-dimensional, o un subespacio n-plano de un espacio dimensional superior. Los espejos del grupo [2ⁿ⁻¹] están numerados $0\dots n-1$ . El orden de los espejos no importa en el caso de una inversión. La matriz de una inversión central es $-I$ , la matriz Identidad con unos negativos en la diagonal.

A partir de esa base, la inversión central tiene un generador como producto de todos los espejos ortogonales. En la notación de Coxeter, este grupo de inversión se expresa agregando una alternancia ⁺ a cada rama de orden 2. La simetría de alternancia está marcada en los nodos del diagrama de Coxeter como nodos abiertos.

Un diagrama de Coxeter-Dynkin se puede marcar con ramas de orden 2 explícitas que definen una secuencia lineal de espejos, nodos abiertos y nodos abiertos dobles compartidos para mostrar el encadenamiento de los generadores de reflexión.

Por ejemplo, [2⁺,2] y [2,2⁺] son subgrupos de índice 2 de [2,2], , y se representan como (o ) y (o ) con generadores {01,2} y {0,12} respectivamente. Su índice de subgrupo común 4 es [2⁺,2⁺], y está representado por (o ), con el de doble apertura que marca un nodo compartido en las dos alternancias y un solo generador de rotación impropia {012}.

Dimensión	Notación de Coxeter	Orden	Operación	Generador
2	[2]⁺	2	Rotación de 180°, C₂	{01}
3	[2⁺,2⁺]	2	Rotorreflexión, C_i o S₂	{012}
4	[2⁺,2⁺,2⁺]	2	Rotación doble	{0123}
5	[2⁺,2⁺,2⁺,2⁺]	2	Rotorreflexión doble	{01234}
6	[2⁺,2⁺,2⁺,2⁺,2⁺]	2	Rotación triple	{012345}
7	[2⁺,2⁺,2⁺,2⁺,2⁺,2⁺]	2	Rotorreflexión triple	{0123456}

Rotaciones y rotorreflexiones

Las rotaciones y las rotorreflexiones se construyen mediante un único producto de generador único de todas las reflexiones de un grupo prismático, [2p]×[2q]×... donde el mcd(p ,q,...)=1. Son isomorfas al grupo cíclico abstracto Z_n, de orden n=2pq.

Las dobles rotaciones de 4 dimensiones, [2p⁺,2⁺,2q⁺] (con mcd(p,q)=1), que incluyen un grupo central, y están expresados por Conway como ±[C_p×C_q],^[5] de orden 2pq. Del diagrama de Coxeter , generadores {0,1,2,3}, requiere dos generadores para [2p⁺,2⁺,2q⁺], como {0123,0132}. Los grupos mitad, [2p⁺,2⁺,2q⁺]⁺, o el gráfico cíclico, [(2p⁺,2⁺,2q⁺,2⁺)], expresados por Conway son [C_p×C_q], orden pq, con un generador, como {0123}.

Si hay un factor común f, la rotación doble se puede escribir como ¹⁄_f[2pf⁺,2⁺,2qf⁺] (con mcd(p,' 'q)=1), generadores {0123,0132}, y orden 2pqf. Por ejemplo, p=q=1, f=2, ¹⁄₂[4⁺,2⁺,4⁺] es de orden 4. Y ¹⁄f[2pf⁺,2⁺, 2qf⁺]⁺, generador 0123, es de orden pqf. Por ejemplo, ¹⁄₂[4⁺,2⁺,4⁺]⁺ es de orden 2, una simetría central.

En general, un grupo de rotación n, [2p₁⁺,2,2p₂⁺,2,...,p_n⁺] puede requerir hasta n generadores si el mcd(p₁,..,p_n)>1, como producto de todos los espejos, y luego intercambiando pares secuenciales. El medio grupo, [2p₁⁺,2,2p₂⁺,2,...,p_n⁺]⁺ tiene generadores al cuadrado. Los reflejos n-rotativos son similares.

Ejemplos
Dimensión	Notación de Coxeter	Orden	Operación	Generadores	Subgrupo directo
2	[2p]⁺	2p	Rotación	{01}	[2p]⁺²= [p]⁺	Rotación simple: [2p]⁺²= [p]⁺ orden p
3	[2p⁺,2⁺]		Rotorreflexión	{012}	[2p⁺,2⁺]⁺= [p]⁺
4	[2p⁺,2⁺,2⁺]		Rotación doble	{0123}	[2p⁺,2⁺,2⁺]⁺= [p]⁺
5	[2p⁺,2⁺,2⁺,2⁺]		Rotorreflexión doble	{01234}	[2p⁺,2⁺,2⁺,2⁺]⁺= [p]⁺
6	[2p⁺,2⁺,2⁺,2⁺,2⁺]		Rotación triple	{012345}	[2p⁺,2⁺,2⁺,2⁺,2⁺]⁺= [p]⁺
7	[2p⁺,2⁺,2⁺,2⁺,2⁺,2⁺]		Rotorreflexión triple	{0123456}	[2p⁺,2⁺,2⁺,2⁺,2⁺,2⁺]⁺= [p]⁺
4	[2p⁺,2⁺,2q⁺]	2pq	Rotación doble	{0123, 0132}	[2p⁺,2⁺,2q⁺]⁺	Rotación doble: [2p⁺,2⁺,2q⁺]⁺ orden pq
5	[2p⁺,2⁺,2q⁺,2⁺]		Rotorreflexión doble	{01234, 01243}	[2p⁺,2⁺,2q⁺,2⁺]⁺
6	[2p⁺,2⁺,2q⁺,2⁺,2⁺]		Rotación triple	{012345, 012354, 013245}	[2p⁺,2⁺,2q⁺,2⁺,2⁺]⁺
7	[2p⁺,2⁺,2q⁺,2⁺,2⁺,2⁺]		Rotorreflexión triple	{0123456, 0123465, 0124356, 0124356}	[2p⁺,2⁺,2q⁺,2⁺,2⁺,2⁺]⁺
6	[2p⁺,2⁺,2q⁺,2⁺,2r⁺]	2pqr	Rotación triple	{012345, 012354, 013245}	[2p⁺,2⁺,2q⁺,2⁺,2r⁺]⁺	Rotación triple: [2p⁺,2⁺,2q⁺,2⁺,2r⁺]⁺ orden pqr
7	[2p⁺,2⁺,2q⁺,2⁺,2r⁺,2⁺]	2pqr	Rotorreflexión triple	{0123456, 0123465, 0124356, 0213456}	[2p⁺,2⁺,2q⁺,2⁺,2r⁺,2⁺]⁺	Rotación triple: [2p⁺,2⁺,2q⁺,2⁺,2r⁺]⁺ orden pqr

Subgrupos conmutadores

Los grupos simples con solo elementos de ramificación de orden impar tienen solo un único subgrupo rotacional/traslacional de orden 2, que también es el subgrupo conmutador, ejemplos [3,3]⁺, [3,5]⁺, [3,3,3]⁺, [3,3,5]⁺. Para otros grupos de Coxeter con ramas de orden par, el subgrupo conmutador tiene un índice 2^c, donde c es el número de subgráficos desconectados cuando se eliminan todas las ramas de orden par.^[6]

Por ejemplo, [4,4] tiene tres nodos independientes en el diagrama de Coxeter cuando se eliminan los valores 4, por lo que su subgrupo conmutador es el índice 2³ y puede tener diferentes representaciones, todas con tres ⁺ Operadores: [4⁺,4⁺]⁺, [1⁺,4,1⁺,4,1⁺], [1⁺,4,4,1⁺]⁺, o [(4⁺,4⁺,2⁺)]. Se puede usar una notación general con +c como exponente de grupo, como [4,4]⁺³.

Subgrupos de ejemplo

Subgrupos de ejemplo de rango 2

Los grupos diedrales con órdenes pares tienen varios subgrupos. Este ejemplo muestra dos espejos generadores del grupo [4] en rojo y verde, y observa todos los subgrupos por reducción a la mitad, reducción de rango y sus subgrupos directos. El grupo [4], tiene dos generadores de espejos 0 y 1. Cada uno genera dos espejos virtuales 101 y 010 por reflexión sobre el otro.

Subgrupos de [4]
Índice	1	2 (mitad)		4 (reducción de rango)
Diagram
Coxeter	[1,4,1]= [4]	= = [1⁺,4,1]= [1⁺,4]= [2]	= = [1,4,1⁺]= [4,1⁺]= [2]	[2,1⁺]= [1]= [ ]	[1⁺,2]= [1]= [ ]
Generadores	{0,1}	{101,1}	{0,010}	{0}	{1}
Subgrupos directos
Índice	2	4		8
Diagrama
Coxeter	[4]⁺	= = = [4]⁺²= [1⁺,4,1⁺]= [2]⁺		[ ]⁺
Generadores	{01}	{(01)²}		{0²}= {1²}= {(01)⁴}= {}

Subgrupos de ejemplo euclídeos de rango 3

El grupo [4,4] tiene 15 subgrupos de índices pequeños. Esta tabla los muestra todos, con un dominio fundamental amarillo para grupos reflectantes puros y dominios blancos y azules alternos que se emparejan para formar dominios rotacionales. Las líneas especulares cian, roja y verde corresponden a los mismos nodos de color en el diagrama de Coxeter. Los generadores de subgrupos se pueden expresar como productos de los 3 espejos originales del dominio fundamental, {0,1,2}, correspondientes a los 3 nodos del diagrama de Coxeter, . Un producto de dos líneas de reflexión que se cruzan forman una rotación, como {012}, {12} o {02}. La eliminación de un espejo genera dos copias de los espejos vecinos, a través del espejo eliminado, como {010} y {212}. Dos rotaciones en serie reducen el orden de rotación a la mitad, como {0101} o {(01)²}, {1212} o {(02)²}. Un producto de los tres espejos crea una reflexión deslizada, como {012} o {120}.

Subgrupos de índice pequeño de [4,4]
Índice	1	2			4
Diagrama
Coxeter	[1,4,1,4,1]= [4,4]	[1⁺,4,4] =	[4,4,1⁺] =	[4,1⁺,4] =	[1⁺,4,4,1⁺] =	[4⁺,4⁺]
Generadores	{0,1,2}	{010,1,2}	{0,1,212}	{0,101,121,2}	{010,1,212,20102}	{(01)²,(12)²,012,120}
Orbifold	*442			*2222		22×
Subgrupos semidirectos
Índice		2			4
Diagrama
Coxeter		[4,4⁺]	[4⁺,4]	[(4,4,2⁺)] =	[4,1⁺,4,1⁺] = =	[1⁺,4,1⁺,4] = =
Generadores		{0,12}	{01,2}	{02,1,212}	{0,101,(12)²}	{(01)²,121,2}
Orbifold		4*2		2*22
Subgrupos directos
Índice	2	4			8
Diagrama
Coxeter	[4,4]⁺ =	[4,4⁺]⁺ =	[4⁺,4]⁺ =	[(4,4,2⁺)]⁺ =	[4,4]⁺³= [(4⁺,4⁺,2⁺)]= [1⁺,4,1⁺,4,1⁺]= [4⁺,4⁺]⁺ == = =
Generadores	{01,12}	{(01)²,12}	{01,(12)²}	{02,(01)²,(12)²}	{(01)²,(12)²,2(01)²2}
Orbifold	442			2222
Subgrupos radicales
Índice		8		16
Diagrama
Coxeter		[4,4*] =	[4*,4] =	[4,4*]⁺ =	[4*,4]⁺ =
Orbifold		*2222		2222

Subgrupos de ejemplo hiperbólicos

El mismo conjunto de 15 pequeños subgrupos existe en todos los grupos de triángulos con elementos de orden par, como [6,4] en el plano hiperbólico:

Subgrupos de índice pequeño de [6,4]
Índice	1	2			4
Diagrama
Coxeter	[1,6,1,4,1]= [6,4]	[1⁺,6,4] =	[6,4,1⁺] =	[6,1⁺,4] =	[1⁺,6,4,1⁺] =	[6⁺,4⁺]
Generadores	{0,1,2}	{010,1,2}	{0,1,212}	{0,101,121,2}	{010,1,212,20102}	{(01)²,(12)²,012}
Orbifold	*642	*443	*662	*3222	*3232	32×
Subgrupos semidirectos
Diagrama
Coxeter		[6,4⁺]	[6⁺,4]	[(6,4,2⁺)]	[6,1⁺,4,1⁺] = = = =	[1⁺,6,1⁺,4] = = = =
Generadores		{0,12}	{01,2}	{02,1,212}	{0,101,(12)²}	{(01)²,121,2}
Orbifold		4*3	6*2	2*32	2*33	3*22
Subgrupos directos
Índice	2	4			8
Diagrama
Coxeter	[6,4]⁺ =	[6,4⁺]⁺ =	[6⁺,4]⁺ =	[(6,4,2⁺)]⁺ =	[6⁺,4⁺]⁺= [1⁺,6,1⁺,4,1⁺] = = =
Generadores	{01,12}	{(01)²,12}	{01,(12)²}	{02,(01)²,(12)²}	{(01)²,(12)²,201012}
Orbifold	642	443	662	3222	3232
Subgrupos radicales
Índice		8	12	16	24
Diagrama
Generadores		{0,101,21012,1210121}	{2,121,101020101,0102010, 010101020101010, 10101010201010101}
Coxeter (orbifold)		[6,4] = (3333)	[6,4] (222222)	[6,4*]⁺ = (3333)	[6*,4]⁺ (222222)

Simetría extendida

Grupo del papel pintado	Simetría del triángulo	Simetría extendida	Diagrama extendido	Grupo extendido	Panal
p3m1 (*333)	a1	[3^[3]]		${\tilde {A}}_{2}$	(ninguno)
p6m (*632)	i2	[[3^[3]]] ↔ [6,3]	↔	${\tilde {A}}_{2}\times 2\leftrightarrow {\tilde {G}}_{2}$	₁, ₂
p31m (3*3)	g3	[3⁺[3^[3]]] ↔ [6,3⁺]	↔	${\tilde {A}}_{2}\times 3\leftrightarrow {\tfrac {1}{2}}{\tilde {G}}_{2}$	(ninguno)
p6 (632)	r6	[3[3^[3]]]⁺ ↔ [6,3]⁺	↔	${\tfrac {1}{2}}{\tilde {A}}_{2}\times 6\leftrightarrow {\tfrac {1}{2}}{\tilde {G}}_{2}$	₍₁₎
p6m (*632)	r6	[3[3^[3]]] ↔ [6,3]	↔	${\tilde {A}}_{2}\times 6\leftrightarrow {\tilde {G}}_{2}$	₃

En el plano euclídeo, el grupo de Coxeter

{\tilde {A}}_{2}

, [3^[3]] se puede extender de dos formas al grupo de Coxeter

{\tilde {G}}_{2}

, [6,3] y relaciona teselas uniformes como diagramas de anillos.

Véase también: Tetraedro de Goursat

La notación de Coxeter incluye la notación de corchetes dobles, [[X]] para expresar la simetría automórfica dentro de un diagrama de Coxeter. Johnson agregó la duplicación alternativa mediante una notación entre ángulos <[X]>. Además, agregó un modificador de simetría de prefijo [Y[X]], donde Y puede representar la simetría del diagrama de Coxeter de [X] o la simetría del dominio fundamental de [X].

Por ejemplo, en 3D estos diagramas de geometría equivalentes rectangular y rómbico de ${\tilde {A}}_{3}$ toman las formas: y , el primero duplicado entre corchetes, [[3^[4]]] o duplicado dos veces como [2[3^[4]]], con [2], simetría de orden 4 superior. Para diferenciar el segundo, se utilizan paréntesis angulares para doblar, <[3^[4]]> y doblar dos veces como <2[3^[4]]>, también con una simetría [2] diferente, de orden 4. Finalmente, una simetría completa donde los 4 nodos son equivalentes se puede representar mediante [4[3^[4]]], con la simetría de orden 8, [4] del cuadrado. Pero al considerar el dominio fundamental del disfenoide, la simetría [4] extendida del gráfico cuadrado se puede marcar más explícitamente como [(2⁺,4)[3^[4]]] o [2⁺,4[3^[4]]].

Existe más simetría en los diagramas ${\tilde {A}}_{n}$ cíclico y $D_{3}$ , ${\tilde {E}}_{6}$ y ${\tilde {D}}_{4}$ de ramificación. ${\tilde {A}}_{n}$ tiene una simetría de orden 2n de un n-ágono regular, {n}, y está representado por [n[3^[n]]]. $D_{3}$ y ${\tilde {E}}_{6}$ están representados por [3[3^1,1,1]]= [3,4,3] y [3[3^2,2,2]] respectivamente mientras que ${\tilde {D}}_{4}$ por [(3,3)[3^1,1,1,1]]= [3,3,4,3 ], con el diagrama que contiene la simetría de orden 24 del tetraedro regular, {3,3}. El grupo hiperbólico paracompacto ${\bar {L}}_{5}$ = [3^1,1,1,1,1], , contiene la simetría de un pentácoron, {3,3,3}, y por lo tanto está representado por [(3,3,3)[3^1,1,1,1,1]]= [3,4, 3,3,3].

Un superíndice asterisco * es efectivamente una operación inversa, creando "subgrupos radicales" eliminando espejos conectados de orden impar.^[7]

Ejemplos:

Ejemplos de grupos extendidos y subgrupos radicales

Grupos extendidos	Subgrupos radicales	Diagramas de Coxeter-Dynkin	Índice
[3[2,2]]= [4,3]	[4,3*]= [2,2]	=	6
[(3,3)[2,2,2]]= [4,3,3]	[4,(3,3)*]= [2,2,2]	=	24
[1[3^1,1]]= [[3,3]]= [3,4]	[3,4,1⁺]= [3,3]	=	2
[3[3^1,1,1]]= [3,4,3]	[3*,4,3]= [3^1,1,1]	=	6
[2[3^1,1,1,1]]= [4,3,3,4]	[1⁺,4,3,3,4,1⁺]= [3^1,1,1,1]	=	4
[3[3,3^1,1,1]]= [3,3,4,3]	[3*,4,3,3]= [3^1,1,1,1]	=	6
[(3,3)[3^1,1,1,1]]= [3,4,3,3]	[3,4,(3,3)*]= [3^1,1,1,1]	=	24
[2[3,3^1,1,1,1]]= [3,(3,4)^1,1]	[3,(3,4,1⁺)^1,1]= [3,3^1,1,1,1]	=	4
[(2,3)[^1,13^1,1,1]]= [4,3,3,4,3]	[3*,4,3,3,4,1⁺]= [3^1,1,1,1,1]	=	12
[(3,3)[3,3^1,1,1,1]]= [3,3,4,3,3]	[3,3,4,(3,3)*]= [3^1,1,1,1,1]	=	24
[(3,3,3)[3^1,1,1,1,1]]= [3,4,3,3,3]	[3,4,(3,3,3)*]= [3^1,1,1,1,1]	=	120

Grupos extendidos	Subgrupos radicales	Diagramas de Coxeter-Dynkin	Índice
[1[3^[3]]]= [3,6]	[3,6,1⁺]= [3^[3]]	=	2
[3[3^[3]]]= [6,3]	[6,3*]= [3^[3]]	=	6
[1[3,3^[3]]]= [3,3,6]	[3,3,6,1⁺]= [3,3^[3]]	=	2
[(3,3)[3^[3,3]]]= [6,3,3]	[6,(3,3)*]= [3^[3,3]]	=	24
[1[∞]²]= [4,4]	[4,1⁺,4]= [∞]²= [∞,2,∞]	=	2
[2[∞]²]= [4,4]	[1⁺,4,4,1⁺]= [(4,4,2*)]= [∞]²	=	4
[4[∞]²]= [4,4]	[4,4*]= [∞]²	=	8
[2[3^[4]]]= [4,3,4]	[1⁺,4,3,4,1⁺]= [(4,3,4,2*)]= [3^[4]]	= =	4
[3[∞]³]= [4,3,4]	[4,3*,4]= [∞]³= [∞,2,∞,2,∞]	=	6
[(3,3)[∞]³]= [4,3^1,1]	[4,(3^1,1)*]= [∞]³	=	24
[(4,3)[∞]³]= [4,3,4]	[4,(3,4)*]= [∞]³	=	48
[(3,3)[∞]⁴]= [4,3,3,4]	[4,(3,3)*,4]= [∞]⁴	=	24
[(4,3,3)[∞]⁴]= [4,3,3,4]	[4,(3,3,4)*]= [∞]⁴	=	384

En cuanto a los generadores, se considera que la doble simetría agrega un nuevo operador que aplica posiciones simétricas en el diagrama de Coxeter, lo que hace que algunos generadores originales sean redundantes. Para el grupo espacial 3D y los grupos de puntos 4D, Coxeter define un subgrupo de índice dos de [[X]], [[X]⁺], que define como el producto de los generadores originales de [X] por el generador de duplicación. Esto se parece a [[X]]⁺, que es el subgrupo quiral de [[X]]. Por ejemplo, los grupos espaciales 3D [[4,3,4]]⁺ (I432, 211) y [[4,3,4]⁺] (Pm3n, 223) son subgrupos distintos de [[4,3,4]] (Im3m, 229).

Grupos de rango 1

Véase también: Grupo de simetría unidimensional

En una dimensión, el grupo bilateral [ ] representa una simetría de un solo espejo, abstracta Dih₁ o Z₂, una simetría de orden 2. Se representa como un diagrama de Coxeter-Dynkin con un solo nodo, . El grupo identidad es el subgrupo directo [ ]⁺, Z₁, con orden de simetría 1. El superíndice + simplemente implica que se ignoran los reflejos alternativos del espejo, dejando el grupo de identidad en este caso más simple. Coxeter usó un solo nodo abierto para representar una alternancia, .

Grupo	Notación de Coxeter	Diagrama de Coxeter	Orden	Descripción
C₁	[ ]⁺		1	Identidad
D₂	[ ]		2	Grupo de reflexión

Grupos de rango 2

Véase también: Grupos de puntos en dos dimensiones

En dos dimensiones, el grupo rectangular [2], abstracto D₂² o D₄, también se puede representar como un producto directo [ ]×[ ], siendo el producto de dos grupos bilaterales, representado por dos espejos ortogonales, con diagrama de Coxeter , con orden 4. El 2 en [2] proviene de la linealización de los subgrafos ortogonales en el diagrama de Coxeter, como con orden de ramificación explícito 2. El grupo rómbico, [2]⁺ ( o ), la mitad del grupo rectangular, es la simetría simetría central, Z₂ de orden 2.

La notación de Coxeter permite un marcador de posición 1 para grupos de menor rango, por lo que [1] es lo mismo que [ ], y [1⁺] o [1]⁺ es lo mismo que [ ]⁺ con el diagrama de Coxeter .

El grupo p-gonal completo [p], abstracto diédrico D_2p, (no abeliano para p>2), de orden 2p, es generado por dos espejos en ángulo π/p, representados por el diagrama de Coxeter . El subgrupo p-agonal [p]⁺, es el grupo cíclico Z_p de orden p, generado por un ángulo de rotación de π/p.

La notación de Coxeter utiliza corchetes dobles para representar una "duplicación" de simetría automórfica al agregar un espejo bisectriz al dominio fundamental. Por ejemplo, [[p]] agrega un espejo bisectriz a [p] y es isomorfo a [2p].

En el límite, bajando a una dimensión, se obtiene el grupo completo apeirogonal cuando el ángulo llega a cero, por lo que [∞], en abstracto, el grupo diedro infinito D_∞, representa dos espejos paralelos y tiene un diagrama de Coxeter . El grupo apeirogonal [∞]⁺, , de forma abstracta el grupo cíclico infinito Z_∞, isomórfico al grupo aditivo de los números enteros, se genera mediante una única traslación distinta de cero.

En el plano hiperbólico, hay un grupo completo apeirogonal [iπ/λ] y un subgrupo pseudogonal [iπ/λ]⁺, . Estos grupos existen en polígonos regulares de infinitos lados, con longitud de arista λ. Los espejos son todos ortogonales a una sola línea recta.

Ejemplos de simetrías finitas e hiperbólicas de rango 2
Tipo	Finito					Afín	Hiperbólico
Geometría					...
Coxeter	[ ]	= [2]=[ ]×[ ]	[3]	[4]	[p]	[∞]	[∞]	[iπ/λ]
Orden	2	4	6	8	2p	∞
Las líneas especulares están coloreadas para corresponder a los nodos del diagrama de Coxeter. Los dominios fundamentales están coloreados alternativamente.
Imágenes pares (directas)					...
Imágenes impares (inversas)					...
Coxeter	[ ]⁺	[2]⁺	[3]⁺	[4]⁺	[p]⁺	[∞]⁺	[∞]⁺	[iπ/λ]⁺
Orden	1	2	3	4	p	∞
Los subgrupos cíclicos representan reflexiones alternas, todas imágenes son pares (directas).

Grupo	Internac.	Orbifold	Coxeter	Orden	Descripción
Finito
Z_n	n	n•	[n]⁺	n	Cíclico: rotaciones de multiplicidad n. Grupo abstracto Z_n, el grupo de los números enteros bajo la suma de módulo n.
D_2n	nm	*n•	[n]	2n	Diédrico: cíclico con reflexiones. Grupo abstracto Dih_n, el grupo diédrico.
Afín
Z_∞	∞	∞•	[∞]⁺	∞	Cíclico: grupo apeirogonal. Grupo abstracto Z_∞, el grupo de los números enteros bajo la suma.
Dih_∞	∞m	*∞•	[∞]	∞	Diédrico: reflexiones paralelas. Grupo diédrico infinito abstracto Dih_∞.
Hiperbólico
Z_∞			[πi/λ]⁺	∞	Grupo pseudogonal
Dih_∞			[πi/λ]	∞	Grupo pseudogonal completo

Grupos de rango 3

Véanse también: Grupos de puntos en tres dimensiones y Grupos de simetría esférica.

Los grupos de puntos en 3 dimensiones se pueden expresar entre corchetes, relacionados con los grupos de Coxeter de rango 3:

Grupos finitos de isometría en 3D^[2]
Grupos de rotación						Grupos extendidos
Nombre	Corchetes	Orb	Sch	Abstracto	Orden	Nombre	Corchetes	Orb	Sch	Abstracto	Orden
Identidad	[ ]⁺	11	C₁	Z₁	1	Bilateral	[1,1]= [ ]	*	D₂	Z₂	2
Identidad	[ ]⁺	11	C₁	Z₁	1	Central	[2⁺,2⁺]	×	C_i	2×Z₁	2
Acrorrómbico	[1,2]⁺= [2]⁺	22	C₂	Z₂	2	Acrorrectangular	[1,2]= [2]	*22	C_2v	D₄	4
						Girorrómbico	[2⁺,4⁺]	2×	S₄	Z₄	4
						Ortorrómbico	[2,2⁺]	2*	D_1d	Z₂×Z₂	4
Pararrómbico	[2,2]⁺	222	D₂	D₄	4	Girorrectangular	[2⁺,4]	2*2	D_2d	D₈	8
Pararrómbico	[2,2]⁺	222	D₂	D₄	4	Ortorrectangular	[2,2]	*222	D_2h	Z₂×D₄	8
Acro-p-gonal	[1,p]⁺= [p]⁺	pp	C_p	Z_p	p	Acro-p-gonal completo	[1,p]= [p]	*pp	C_pv	D_2p	2p
						Giro-p-gonal	[2⁺,2p⁺]	p×	S_2p	Z_2p	2p
						Orto-p-gonal	[2,p⁺]	p*	C_ph	Z₂×Z_p	2p
Para-p-gonal	[2,p]⁺	p22	D_2p	D_2p	2p	Giro-p-gonal completo	[2⁺,2p]	2*p	D_pd	D_4p	4p
Para-p-gonal	[2,p]⁺	p22	D_2p	D_2p	2p	Orto-p-gonal completo	[2,p]	*p22	D_ph	Z₂×D_2p	4p
Tetraédrico	[3,3]+	332	T	A₄	12	Tetraédrico completo	[3,3]	*332	T_d	S₄	24
Tetraédrico	[3,3]+	332	T	A₄	12	Piritoédrico	[3⁺,4]	3*2	T_h	2×A₄	24
Octaédrico	[3,4]⁺	432	O	S₄	24	Octaédrico completo	[3,4]	*432	O_h	2×S₄	48
Icosaédrico	[3,5]⁺	532	I	A₅	60	Icosaédrico completo	[3,5]	*532	I_h	2×A₅	120

En tres dimensiones, el grupo ortorrómbico completo u ortorrectangular [2,2], de forma abstracta Z₂³, de orden 8, representa tres espejos ortogonales (también representados por el diagrama de Coxeter como tres puntos separados ). También se puede representar como el producto directo [ ]×[ ]×[ ], pero la expresión [2,2] permite definir subgrupos:

Primero hay un subgrupo "semidirecto", el grupo ortorrómbico, [2,2⁺] ( o ), abstractamente Z₂×Z₂, de orden 4. Cuando el superíndice + se encuentra dentro de los corchetes, lo que significa que los reflejos generados solo por los espejos adyacentes (como se define en el diagrama de Coxeter, ) se alternan. En general, las órdenes de rama vecinas al nodo + deben ser pares. En este caso [2,2⁺] y [2⁺,2] representan dos subgrupos isomorfos que son geométricamente distintos. Los otros subgrupos son el grupo pararrómbico [2,2]⁺ ( o ), también de orden 4, y finalmente el grupo central [2⁺,2⁺] ( o ) de orden 2.

Luego está el grupo orto-p-gonal completo, [2,p] (), abstractamente Z₂×D_2p, de orden 4p, que representa dos espejos en un ángulo diedro π/p, y ambos son ortogonales a un tercer espejo. También está representado por el diagrama de Coxeter como .

El subgrupo directo se denomina grupo para-p-gonal, [2,p]⁺ ( o ), en abstracto D_2p, de orden 2p, y otro subgrupo es [2,p⁺] () en abstracto Z₂ ×Z_p, también de orden 2p.

El grupo giro-p-gonal completo, [2⁺,2p] ( o ), en abstracto D_4p y de orden 4p. El grupo giro-p-gonal, [2⁺,2p⁺] ( o ), abstractamente Z_2p, de orden 2p, es un subgrupo de [2⁺,2 p] y de [2,2p⁺].

Los grupos poliédricos se basan en la simetría de los sólidos platónicos: tetraedro, octaedro, cubo, icosaedro y dodecaedro, con símbolos de Schläfli {3,3}, {3,4}, {4,3}, {3,5} y {5,3} respectivamente. Los grupos de Coxeter para estos son: [3,3] (), [3,4] (), [3,5] (); conocidos como simetría tetraédrica, simetría octaédrica y simetría icosaédrica completas, con órdenes 24, 48 y 120.

En todas estas simetrías, los reflejos alternos se pueden eliminar produciendo los grupos rotacionales tetraédricos [3,3]⁺(), octaédricos [3,4]⁺ () e icosaédricos [3,5]⁺ () de orden 12, 24 y 60. El grupo octaédrico también tiene un subgrupo único de índice 2 llamado grupo de simetría tetraédrica, [3⁺,4] ( o ), de orden 12, con una mezcla de simetría rotacional y de reflexión. La simetría piritoédrica también es un subgrupo de índice 5 de simetría icosaédrica: → , con un espejo virtual 1 a través de 0, {010} y rotación triple {12}.

El grupo tetraédrico, [3,3] (), tiene un [[3,3]] duplicado (que se puede representar con nodos coloreados ), aplicando el primer y el último espejo entre sí, se produce el [3,4] ( o grupo ). El subgrupo [3,4,1⁺] ( o ) es igual a [3,3] y [3⁺,4,1⁺] ( o ) es igual a [3,3]⁺.

Ejemplo de árboles de subgrupos de grupos finitos de Coxeter de rango 3
Simetría tetraédrica	Simetría octaédrica

Simetría icosaédrica

Finito (grupos de puntos en tres dimensiones)

Internac.*	Geo ^[8]	Orb.	Schön.	Estruct.	Coxeter		Ord.
1	1	1	C₁	Z₁	[]= [ ]⁺	=	1
2= m	1	*	C_s	Z₂	[ ]		2
2 3 4 5 6 n	2 3 4 5 6 n	22 33 44 55 66 nn	C₂ C₃ C₄ C₅ C₆ C_n	Z₂ Z₃ Z₄ Z₅ Z₆ Z_n	[1,2]⁺ [1,3]⁺ [1,4]⁺ [1,5]⁺ [1,6]⁺ [1,n]⁺		2 3 4 5 6 n
2mm 3m 4mm 5m 6mm nmm nm	2 3 4 5 6 n	22 33 44 55 66 nn	C_2v C_3v C_4v C_5v C_6v C_nv	D₂ D₃ D₄ D₅ D₆ D_n	[1,2] [1,3] [1,4] [1,5] [1,6] [1,n]		4 6 8 10 12 2n
2/m 3/m 4/m 5/m 6/m n/m	2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 n 2	2* 3* 4* 5* 6* n*	C_2h C_3h C_4h C_5h C_6h C_nh	Z₂×Z₂ Z₂×Z₃ Z₂×Z₄ Z₂×Z₅ Z₂×Z₆ Z₂×Z_n	[2,2⁺] [2,3⁺] [2,4⁺] [2,5⁺] [2,6⁺] [2,n⁺]		4 6 8 10 12 2n
1 4 3 8 5 12 2n n	2 2 4 2 6 2 8 2 10 2 12 2 2n 2	1× 2× 3× 4× 5× 6× n×	C_i= S₂ S₄ S₆ S₈ S₁₀ S₁₂ S_2n	Z₂ Z₄ Z₆=Z₂×Z₃ Z₈ Z₁₀=Z₂×Z₅ Z₁₂ Z_2n	[2⁺,2⁺] [2⁺,4⁺] [2⁺,6⁺] [2⁺,8⁺] [2⁺,10⁺] [2⁺,12⁺] [2⁺,2n⁺]		2 4 6 8 10 12 2n

Internac.	Geo	Orb.	Schön.	Estruct.	Coxeter	Ord.
222 32 422 52 622 n22 n2	2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 n 2	222 223 224 225 226 22n	D₂ D₃ D₄ D₅ D₆ D_n	D₄ D₆ D₈ D₁₀ D₁₂ D_2n	[2,2]⁺ [2,3]⁺ [2,4]⁺ [2,5]⁺ [2,6]⁺ [2,n]⁺	4 6 8 10 12 2n
mmm 6m² 4/mmm 10m² 6/mmm n/mmm 2nm²	2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 n 2	222 223 224 225 226 22n	D_2h D_3h D_4h D_5h D_6h D_nh	Z₂×D₄ Z₂×D₆ Z₂×D₈ Z₂×D₁₀ Z₂×D₁₂ Z₂×D_2n	[2,2] [2,3] [2,4] [2,5] [2,6] [2,n]	8 12 16 20 24 4n
42m 3m 82m 5m 122m 2n2m nm	4 2 6 2 8 2 10 2 12 2 n 2	22 23 24 25 26 2n	D_2d D_3d D_4d D_5d D_6d D_nd	D₄ D₆ D₈ D₁₀ D₁₂ D_2n	[2⁺,4] [2⁺,6] [2⁺,8] [2⁺,10] [2⁺,12] [2⁺,2n]	8 12 16 20 24 4n
23	3 3	332	T	A₄	[3,3]⁺	12
m3	4 3	3*2	T_h	A₄×S₂	[3⁺,4]	24
43m	3 3	*332	T_d	S₄	[3,3]	24
432	4 3	432	O	S₄	[3,4]⁺	24
m3m	4 3	*432	O_h	S₄×S₂	[3,4]	48
532	5 3	532	I	A₅	[3,5]⁺	60
53m	5 3	*532	I_h	A₄×S₂	[3,5]	120

Grupos afines

Véase también: Anexo:Grupos de simetría plana

En el plano euclídeo hay 3 grupos fundamentales de reflexión generados por 3 espejos, representados por los diagramas de Coxeter , y , y reciben la notación de Coxeter como [4,4], [6,3] y [(3,3, 3)]. Los paréntesis del último grupo implican el ciclo del diagrama y también tiene una notación abreviada, [3^[3]].

[[4,4]], como una duplicación del grupo [4,4], produce la misma simetría girada π/4 desde el conjunto original de espejos.

Los subgrupos directos de simetría rotacional son: [4,4]⁺, [6,3]⁺ y [(3,3,3)]⁺. [4⁺,4] y [6,3⁺] son subgrupos semidirectos.

Semiafín (frisos)
IUC	Orb.	Geo	Sch.	Coxeter
p1	∞∞	p1	C_∞	[∞]= [∞,1]⁺= [∞⁺,2,1⁺]	=
p1m1	*∞∞	p1	C_∞v	[∞]= [∞,1]= [∞,2,1⁺]	=
p11g	∞×	p._g1	S_2∞	[∞⁺,2⁺]
p11m	∞*	p. 1	C_∞h	[∞⁺,2]
p2	22∞	p2	D_∞	[∞,2]⁺
p2mg	2*∞	p2_g	D_∞d	[∞,2⁺]
p2mm	*22∞	p2	D_∞h	[∞,2]

Afín (grupos del papel pintado)
IUC	Orb.	Geo.	Coxeter
p2	2222	p2	[4,1⁺,4]⁺
p2gg	22×	p_g2_g	[4⁺,4⁺]
p2mm	*2222	p2	[4,1⁺,4]
c2mm	2*22	c2	[[4⁺,4⁺]]
p4	442	p4	[4,4]⁺
p4gm	4*2	p_g4	[4⁺,4]
p4mm	*442	p4	[4,4]
p3	333	p3	[1⁺,6,3⁺]= [3^[3]]⁺	=
p3m1	*333	p3	[1⁺,6,3]= [3^[3]]	=
p31m	3*3	h3	[6,3⁺]= [3[3^[3]]⁺]
p6	632	p6	[6,3]⁺= [3[3^[3]]]⁺
p6mm	*632	p6	[6,3]= [3[3^[3]]]

Expresados en notación de Coxeter (y notación orbifold entre paréntesis), algunos subgrupos afines de índice bajo son:

Grupo reflexivo	Subgrupo reflexivo	Subgrupo mixto	Subgrupo rotativo	Rotorreflexion/ traslación	Subgrupo conmutador
[4,4], (*442)	[1⁺,4,4], (442) [4,1⁺,4], (2222) [1⁺,4,4,1⁺], (*2222)	[4⁺,4], (42) [(4,4,2⁺)], (222) [1⁺,4,1⁺,4], (2*22)	[4,4]⁺, (442) [1⁺,4,4⁺], (442) [1⁺,4,1⁺4,1⁺], (2222)	[4⁺,4⁺], (22×)	[4⁺,4⁺]⁺, (2222)
[6,3], (*632)	[1⁺,6,3]= [3^[3]], (*333)	[3⁺,6], (3*3)	[6,3]⁺, (632) [1⁺,6,3⁺], (333)		[1⁺,6,3⁺], (333)

Grupos de rango 4

Relaciones entre subgrupos

Grupos de puntos

Véase también: Grupos de puntos en cuatro dimensiones

Los grupos de rango cuatro definen los grupos puntuales de 4 dimensiones:

Grupos finitos

[ ]:
Símbolo	Orden
[1]⁺	1.1
[1]= [ ]	2.1

[2]:
Símbolo	Orden
[1⁺,2]⁺	1.1
[2]⁺	2.1
[2]	4.1

[2,2]:
Símbolo	Orden
[2⁺,2⁺]⁺ = [(2⁺,2⁺,2⁺)]	1.1
[2⁺,2⁺]	2.1
[2,2]⁺	4.1
[2⁺,2]	4.1
[2,2]	8.1

[2,2,2]:
Símbolo	Orden
[(2⁺,2⁺,2⁺,2⁺)] = [2⁺,2⁺,2⁺]⁺	1.1
[2⁺,2⁺,2⁺]	2.1
[2⁺,2,2⁺]	4.1
[(2,2)⁺,2⁺]	4
[[2⁺,2⁺,2⁺]]	4
[2,2,2]⁺	8
[2⁺,2,2]	8.1
[(2,2)⁺,2]	8
[[2⁺,2,2⁺]]	8.1
[2,2,2]	16.1
[[2,2,2]]⁺	16
[[2,2⁺,2]]	16
[[2,2,2]]	32

[p]:
Símbolo	Orden
[p]⁺	p
[p]	2p

[p,2]:
Símbolo	Orden
[p,2]⁺	2p
[p,2]	4p

[2p,2⁺]:
Símbolo	Orden
[2p,2⁺]	4p
[2p⁺,2⁺]	2p

[p,2,2]:
Símbolo	Orden
[p⁺,2,2⁺]	2p
[(p,2)⁺,2⁺]	2p
[p,2,2]⁺	4p
[p,2,2⁺]	4p
[p⁺,2,2]	4p
[(p,2)⁺,2]	4p
[p,2,2]	8p

[2p,2⁺,2]:
Símbolo	Orden
[2p⁺,2⁺,2⁺]⁺	p
[2p⁺,2⁺,2⁺]	2p
[2p⁺,2⁺,2]	4p
[2p⁺,(2,2)⁺]	4p
[2p,(2,2)⁺]	8p
[2p,2⁺,2]	8p

[p,2,q]:
Símbolo	Orden
[p⁺,2,q⁺]	pq
[p,2,q]⁺	2pq
[p⁺,2,q]	2pq
[p,2,q]	4pq
Símbolo	Orden
[(p,2)⁺,2q⁺]	2pq
[(p,2)⁺,2q]	4pq

[2p,2,2q]:
Símbolo	Orden
[2p⁺,2⁺,2q⁺]⁺= [(2p⁺,2⁺,2q⁺,2⁺)]	pq
[2p⁺,2⁺,2q⁺]	2pq
[2p,2⁺,2q⁺]	4pq
[((2p,2)⁺,(2q,2)⁺)]	4pq
[2p,2⁺,2q]	8pq

[[p,2,p]]:
Símbolo	Orden
[[p⁺,2,p⁺]]	2p²
[[p,2,p]]⁺	4p²
[[p,2,p]⁺]	4p²
[[p,2,p]]	8p²

[[2p,2,2p]]:
Símbolo	Orden
[[(2p⁺,2⁺,2p⁺,2⁺)]]	2p²
[[2p⁺,2⁺,2p⁺]]	4p²
[[((2p,2)⁺,(2p,2)⁺)]]	8p²
[[2p,2⁺,2p]]	16p²

[3,3,2]:
Símbolo	Orden
[(3,3)^Δ,2,1⁺] ≅ [2,2]⁺	4
[(3,3)^Δ,2] ≅ [2,(2,2)⁺]	8
[(3,3)^⅄,2,1⁺] ≅ [4,2⁺]	8
[(3,3)⁺,2,1⁺] = [3,3]⁺	12.5
[(3,3)^⅄,2] ≅ [2,4,2⁺]	16
[3,3,2,1⁺] = [3,3]	24
[(3,3)⁺,2]	24.10
[3,3,2]⁺	24.10
[3,3,2]	48.36

[4,3,2]:
Símbolo	Orden
[1⁺,4,3⁺,2,1⁺] = [3,3]⁺	12
[3⁺,4,2⁺]	24
[(3,4)⁺,2⁺]	24
[1⁺,4,3⁺,2] = [(3,3)⁺,2]	24.10
[3⁺,4,2,1⁺] = [3⁺,4]	24.10
[(4,3)⁺,2,1⁺] = [4,3]⁺	24.15
[1⁺,4,3,2,1⁺] = [3,3]	24
[1⁺,4,(3,2)⁺] = [3,3,2]⁺	24
[3,4,2⁺]	48
[4,3⁺,2]	48.22
[4,(3,2)⁺]	48
[(4,3)⁺,2]	48.36
[1⁺,4,3,2] = [3,3,2]	48.36
[4,3,2,1⁺] = [4,3]	48.36
[4,3,2]⁺	48.36
[4,3,2]	96.5

[5,3,2]:
Símbolo	Orden
[(5,3)⁺,2,1⁺] = [5,3]⁺	60.13
[5,3,2,1⁺] = [5,3]	120.2
[(5,3)⁺,2]	120.2
[5,3,2]⁺	120.2
[5,3,2]	240 (nc)

[3^1,1,1]:
Símbolo	Orden
[3^1,1,1]^Δ ≅[[ 4,2⁺,4]]⁺	32
[3^1,1,1]^⅄	64
[3^1,1,1]⁺	96.1
[3^1,1,1]	192.2
<[3,3^1,1]> = [4,3,3]	384.1
[3[3^1,1,1]] = [3,4,3]	1152.1

[3,3,3]:
Símbolo	Orden
[3,3,3]⁺	60.13
[3,3,3]	120.1
[[3,3,3]]⁺	120.2
[[3,3,3]⁺]	120.1
[[3,3,3]]	240.1

[4,3,3]:
Símbolo	Orden
[1⁺,4,(3,3)^Δ] = [3^1,1,1]^Δ ≅[[ 4,2⁺,4]]⁺	32
[4,(3,3)^Δ] = [2⁺,4[2,2,2]⁺] ≅[[ 4,2⁺,4]]	64
[1⁺,4,(3,3)^⅄] = [3^1,1,1]^⅄	64
[1⁺,4,(3,3)⁺] = [3^1,1,1]⁺	96.1
[4,(3,3)^⅄] ≅ [[4,2,4]]	128
[1⁺,4,3,3] = [3^1,1,1]	192.2
[4,(3,3)⁺]	192.1
[4,3,3]⁺	192.3
[4,3,3]	384.1

[3,4,3]:
Símbolo	Orden
[3⁺,4,3⁺]	288.1
[3,4,3^⅄] = [4,3,3]	384.1
[3,4,3]⁺	576.2
[3⁺,4,3]	576.1
[[3⁺,4,3⁺]]	576 (nc)
[3,4,3]	1152.1
[[3,4,3]]⁺	1152 (nc)
[[3,4,3]⁺]	1152 (nc)
[[3,4,3]]	2304 (nc)

[5,3,3]:
Símbolo	Orden
[5,3,3]⁺	7200 (nc)
[5,3,3]	14400 (nc)

Subgrupos

Grupos y subgrupos reflexivos de puntos 1D-4D
Orden	Reflexión	Subgrupos semidirectos			Subgrupos directos	Subgrupo conmutador
2	[ ]				[ ]⁺	[ ]⁺¹	[ ]⁺
4	[2]				[2]⁺	[2]⁺²
8	[2,2]	[2⁺,2]	[2⁺,2⁺]		[2,2]⁺	[2,2]⁺³
16	[2,2,2]	[2⁺,2,2] [(2,2)⁺,2]	[2⁺,2⁺,2] [(2,2)⁺,2⁺] [2⁺,2⁺,2⁺]		[2,2,2]⁺ [2⁺,2,2⁺]	[2,2,2]⁺⁴
16	[2^1,1,1]		[(2⁺)^1,1,1]			[2,2,2]⁺⁴
2n	[n]				[n]⁺	[n]⁺¹	[n]⁺
4n	[2n]				[2n]⁺	[2n]⁺²
4n	[2,n]	[2,n⁺]			[2,n]⁺	[2,n]⁺²
8n	[2,2n]	[2⁺,2n]	[2⁺,2n⁺]		[2,2n]⁺	[2,2n]⁺³
8n	[2,2,n]	[2⁺,2,n] [2,2,n⁺]	[2⁺,(2,n)⁺]		[2,2,n]⁺ [2⁺,2,n⁺]	[2,2,n]⁺³
16n	[2,2,2n]	[2,2⁺,2n]	[2⁺,2⁺,2n] [2,2⁺,2n⁺] [(2,2)⁺,2n⁺] [2⁺,2⁺,2n⁺]		[2,2,2n]⁺ [2⁺,2n,2⁺]	[2,2,2n]⁺⁴
	[2,2n,2]		[2⁺,2n⁺,2⁺]
	[2n,2^1,1]		[2n⁺,(2⁺)^1,1]
24	[3,3]				[3,3]⁺	[3,3]⁺¹	[3,3]⁺
48	[3,3,2]	[(3,3)⁺,2]			[3,3,2]⁺	[3,3,2]⁺²
48	[4,3]	[4,3⁺]			[4,3]⁺	[4,3]⁺²
96	[4,3,2]	[(4,3)⁺,2] [4,(3,2)⁺]			[4,3,2]⁺	[4,3,2]⁺³
96	[3,4,2]	[3,4,2⁺] [3⁺,4,2]	[(3,4)⁺,2⁺]		[3⁺,4,2⁺]	[4,3,2]⁺³
120	[5,3]				[5,3]⁺	[5,3]⁺¹	[5,3]⁺
240	[5,3,2]	[(5,3)⁺,2]			[5,3,2]⁺	[5,3,2]⁺²	[5,3]⁺
4pq	[p,2,q]	[p⁺,2,q]			[p,2,q]⁺ [p⁺,2,q⁺]	[p,2,q]⁺²	[p⁺,2,q⁺]
8pq	[2p,2,q]	[2p,(2,q)⁺]	[2p⁺,(2,q)⁺]		[2p,2,q]⁺	[2p,2,q]⁺³
16pq	[2p,2,2q]	[2p,2⁺,2q]	[2p⁺,2⁺,2q] [2p⁺,2⁺,2q⁺] [(2p,(2,2q)⁺,2⁺)]	-	[2p,2,2q]⁺	[2p,2,2q]⁺⁴
120	[3,3,3]				[3,3,3]⁺	[3,3,3]⁺¹	[3,3,3]⁺
192	[3^1,1,1]				[3^1,1,1]⁺	[3^1,1,1]⁺¹	[3^1,1,1]⁺
384	[4,3,3]	[4,(3,3)⁺]			[4,3,3]⁺	[4,3,3]⁺²	[3^1,1,1]⁺
1152	[3,4,3]	[3⁺,4,3]			[3,4,3]⁺ [3⁺,4,3⁺]	[3,4,3]⁺²	[3⁺,4,3⁺]
14400	[5,3,3]				[5,3,3]⁺	[5,3,3]⁺¹	[5,3,3]⁺

Grupos espaciales

Grupos espaciales
Isomorfismo afín y correspondencias	Los 8 grupos espaciales cúbicos como simetría extendida de [3^[4]], con diagramas cuadrados de Coxeter y dominios fundamentales reflexivos	Los 35 grupos espaciales cúbicos en notación internacional, notación fibrifold y de Coxeter

Grupos de rango cuatro como grupos espaciales tridimensionales

Triclínico (1-2)
Coxeter	Grupo espacial
[∞⁺,2,∞⁺,2,∞⁺]	(1) P1

Monoclínico (3-15)
Coxeter	Grupo espacial
[(∞,2,∞)⁺,2,∞⁺]	(3) P2
[∞⁺,2,∞⁺,2,∞]	(6) Pm
[(∞,2,∞)⁺,2,∞]	(10) P2/m

Ortorrómbico (16-74)
Coxeter	Grupo espacial
[∞,2,∞,2,∞]⁺	(16) P222
[[∞,2,∞,2,∞]]⁺	(23) I222
[∞⁺,2,∞,2,∞]	(25) Pmm2
[∞,2,∞,2,∞]	(47) Pmmm
[[∞,2,∞,2,∞]]	(71) Immm
[∞⁺,2,∞⁺,2,∞⁺]
[∞,2,∞,2⁺,∞]
[∞,2⁺,∞,2⁺,∞]

Tetragonal (75-142)
Coxeter	Grupo espacial
[(4,4)⁺,2,∞⁺]	(75) P4
[2⁺[(4,4)⁺,2,∞⁺]]	(79) I4
[(4,4)⁺,2,∞]	(83) P4/m
[2⁺[(4,4)⁺,2,∞]]	(87) I4/m
[4,4,2,∞]⁺	(89) P422
[2⁺[4,4,2,∞]]⁺	(97) I422
[4,4,2,∞⁺]	(99) P4mm
[4,4,2,∞]	(123) P4/mmm
[2⁺[4,4,2,∞]]	(139) I4/mmm
[4,(4,2)⁺,∞]	(140) I4/mcm
[4,4,2⁺,∞]
[(4,4)⁺,2⁺,∞]
[4,4,2⁺,∞⁺]
[(4,4)⁺,2⁺,∞⁺]
[4⁺,4⁺,2⁺,∞]
[4,4⁺,2,∞]
[4,4⁺,2⁺,∞]
[((4,2⁺,4)),2,∞]
[4,4⁺,2,∞⁺]
[4,4⁺,2⁺,∞⁺]
[((4,2⁺,4)),2,∞⁺]

Trigonal (143-167), romboedral
Coxeter	Grupo espacial

Hexagonal (168-194)
[(6,3)⁺,2,∞⁺]	(168) P6
[(6,3)⁺,2,∞]	(175) P6/m
[6,3,2,∞]⁺	(177) P622
[6,3,2,∞⁺]	(183) P6mm
[6,3,2,∞]	(191) P6/mmm
[(3^[3])⁺,2,∞⁺]
[3^[3],2,∞]
[6,3⁺,2,∞]
[6,3⁺,2,∞⁺]
[3^[3],2,∞]⁺
[3^[3],2,∞⁺]
[(3^[3])⁺,2,∞]

Cúbico (195-230)
Group	Coxeter	Grupo espacial	Índice
[[4,3,4]]	[[4,3,4]]	(229) Im3m	1
	[[4,3,4]]⁺	(211) I432	2
	[[4,3,4]⁺]	(223) Pm3n	2
	[[4,3⁺,4]]	(204) I3	2
	[[(4,3,4,2⁺)]]	(217) I43m	2
	[[4,3⁺,4]]⁺	(197) I23	4
	[[4,3,4]⁺]⁺	(208) P4₂32	4
	[[4,3⁺,4)]⁺]	(201) Pn43	4
	[[(4,3,4,2⁺)]⁺]	(218) P43n	4
[4,3,4]	[4,3,4]	(221) Pm3m	2
	[4,3,4]⁺	(207) P432	4
	[4,3⁺,4]	(200) Pm3	4
	[4,(3,4)⁺]	(226) Fm3c	4
	[(4,3,4,2⁺)]	(215) P43m	4
	[[{4,(3}⁺,4)⁺]]	(228) Fd3c	4
	[4,3⁺,4]⁺	(195) P23	8
	[{4,(3}⁺,4)⁺]	(219) F43c	8
[4,3^1,1]	[4,3^1,1]	(225) Fm3m	4
	[4,(3^1,1)⁺]	(202) Fm3	8
	[4,3^1,1]⁺	(209) F432	8
[[3^[4]]]
	[(4⁺,2⁺)[3^[4]]]	(222) Pn3n	2
	[[3^[4]]]	(227) Fd3m	4
	[[3^[4]]]⁺	(203) Fd3	8
	[[3^[4]]⁺]	(210) F4₁32	8
[3^[4]]	[3^[4]]	(216) F43m	8
[3^[4]]	[3^[4]]⁺	(196) F23	16

Grupos lineales

Los grupos de rango cuatro también definen los grupos lineales tridimensionales:

Grupos (3D) semiafines
Grupo puntual			Grupo lineal
Hermann-Mauguin		Schönflies	Hermann-Mauguin		Tipo desplazado	Papel pintado			Coxeter [∞_h,2,p_v]
n par	n impar	Schönflies	n par	n impar	Tipo desplazado	IUC	Orbifold	Diagrama	Coxeter [∞_h,2,p_v]
n		C_n	Pn_q		Hélice: q	p1	o		[∞⁺,2,n⁺]
2n	n	S_2n	P2n	Pn	None	p11g, pg(h)	××		[(∞,2)⁺,2n⁺]
n/m	2n	C_nh	Pn/m	P2n	Ninguno	p11m, pm(h)	**		[∞⁺,2,n]
2n/m		C_2nh	P2n_n/m		Zigzag	c11m, cm(h)	*×		[∞⁺,2⁺,2n]
nmm	nm	C_nv	Pnmm	Pnm	Ninguno	p1m1, pm(v)	**		[∞,2,n⁺]
nmm	nm	C_nv	Pncc	Pnc	Reflexión plana	p1g1, pg(v)	××		[∞⁺,(2,n)⁺]
2nmm		C_2nv	P2n_nmc		Zigzag	c1m1, cm(v)	*×		[∞,2⁺,2n⁺]
n22	n2	D_n	Pn_q22	Pn_q2	Hélice: q	p2	2222		[∞,2,n]⁺
2n2m	nm	D_nd	P2n2m	Pnm	Ninguno	p2mg, pmg(h)	22*		[(∞,2)⁺,2n]
2n2m	nm	D_nd	P2n2c	Pnc	Reflexión plana	p2gg, pgg	22×		[⁺(∞,(2),2n)⁺]
n/mmm	2n2m	D_nh	Pn/mmm	P2n2m	Ninguno	p2mm, pmm	*2222		[∞,2,n]
n/mmm	2n2m	D_nh	Pn/mcc	P2n2c	Reflexión plana	p2mg, pmg(v)	22*		[∞,(2,n)⁺]
2n/mmm		D_2nh	P2n_n/mcm		Zigzag	c2mm, cmm	2*22		[∞,2⁺,2n]

Grupo duoprismático

Simetría duoprismática extendida

Grupos duoprismáticos extendidos, [p]×[p] o [p,2,p] o , expresados en relación con su simetría de dominio fundamental disfenoide.

Los grupos de rango cuatro definen los grupos duoprismáticos de 4 dimensiones. En el límite, cuando p y q tienden a infinito, degeneran en 2 dimensiones y se convierten en los grupos del papel pintado.

Grupos duoprismáticos (4D)
Papel pintado			Coxeter [p,2,q]	Coxeter [[p,2,p]]	Papel pintado
IUC	Orbifold	Diagrama	Coxeter [p,2,q]	Coxeter [[p,2,p]]	IUC	Orbifold	Diagrama
p1	o		[p⁺,2,q⁺]	[[p⁺,2,p⁺]]	p1	o
pg	××		[(p,2)⁺,2q⁺]	-
pm	**		[p⁺,2,q]	-
cm	*×		[2p⁺,2⁺,2q]	-
p2	2222		[p,2,q]⁺	[[p,2,p]]⁺	p4	442
pmg	22*		[(p,2)⁺,2q]	-
pgg	22×		[⁺(2p,(2),2q)⁺]	[[⁺(2p,(2),2p)⁺]]	cmm	2*22
pmm	*2222		[p,2,q]	[[p,2,p]]	p4m	*442
cmm	2*22		[2p,2⁺,2q]	[[2p,2⁺,2p]]	p4g	4*2

Grupos del papel pintado

Los grupos de rango cuatro también definen algunos de los grupos del papel pintado bidimensionales, como casos límite de los grupos de duoprismas de cuatro dimensiones:

Grupo afín (plano 2D)

IUC	Orb.	Geo	Coxeter
p1	o	p1	[∞⁺,2,∞⁺]
			[∞⁺,2⁺,∞⁺]
			[(∞⁺,2⁺,∞⁺,2⁺)]
p2	2222	p2	[∞,2,∞]⁺
p2	2222	p2	[(∞,2⁺,∞,2⁺)]
p11g	××	p_g1	h: [∞⁺,(2,∞)⁺]
p1g1	××	p_g1	v: [(∞,2)⁺,∞⁺]
p2gm	22*	p_g2	h: [(∞,2)⁺,∞]
p2mg	22*	p_g2	v: [∞,(2,∞)⁺]

IUC	Orb.	Geo	Coxeter
p11m	**	p1	h: [∞⁺,2,∞]
p1m1	**	p1	v: [∞,2,∞⁺]
p2mm	*2222	p2	[∞,2,∞]
c11m	*×	c1	h: [∞⁺,2⁺,∞]
c1m1	*×	c1	v: [∞,2⁺,∞⁺]
p2gg	22×	p_g2_g	[⁺(∞,(2),∞)⁺] [((∞,2)⁺)^[2]]
c2mm	2*22	c2	[∞,2⁺,∞]

Los subgrupos de [8,2,8], (*2222) se pueden expresar hasta su subgrupo conmutador de índice 16 como sigue:

Subgrupos de [∞,2,∞]
Grupo reflexivo	Subgrupo reflexivo	Subgrupo mixto	Subgrupo rotativo	Rotorreflexión/ traslación	Subgrupo conmutador
[∞,2,∞], (*2222)	[1⁺,∞,2,∞], (*2222)	[∞⁺,2,∞], (**)	[∞,2,∞]⁺, (2222)	[∞,2⁺,∞]⁺, (°) [∞⁺,2⁺,∞⁺], (°) [∞⁺,2,∞⁺], (°) [∞⁺,2⁺,∞], (*×) [(∞,2)⁺,∞⁺], (××) [((∞,2)⁺,(∞,2)⁺)], (22×)	[(∞⁺,2⁺,∞⁺,2⁺)], (°)
[∞,2,∞], (*2222)	[1⁺,∞,2,∞], (*2222)	[∞,2⁺,∞], (222) [(∞,2)⁺,∞], (22)	[∞,2,∞]⁺, (2222)		[(∞⁺,2⁺,∞⁺,2⁺)], (°)

Reflexiones complejas

La notación de Coxeter se ha ampliado al espacio complejo, Cⁿ, donde los nodos son reflexiones unitarias de período 2 o superior. Los nodos están etiquetados por un índice, que se supone que es 2 para la reflexión real ordinaria si se suprime. Los grupos de reflexión complejos se denominan grupos de Shephard en lugar de grupos de Coxeter y se pueden utilizar para construir politopos complejos.

En $\mathbb {C} ^{1}$ , un grupo de Shephard de rango 1 , orden p, se representa como _p[ ], [ ]_p o ]_p[. Tiene un solo generador, representando una rotación de 2π/p radianes en el plano complejo: $e^{2\pi i/p}$ .

Coxeter anota el grupo complejo de rango 2, _p[q]_r y lo representa mediante el diagrama de Coxeter-Dynkin . La p y la r solo deben suprimirse si ambas son 2, que es el caso real [q]. El orden de un grupo de rango 2 _p[q]_r es $g=8/q(1/p+2/q+1/r-1)^{-2}$ .^[9]

Las soluciones de rango 2 que generan polígonos complejos son: _p[4]₂ (p es 2,3,4,...), ₃[3]₃, ₃[6]₂, ₃[4]₃, ₄[3]₄, ₃[8]₂, ₄ (045)[6]₂, ₄[4]₃, ₃[5]₃, ₅[3]₅, ₃ )[10]₂, ₅[6]₂ y ₅[4]₃ con diagramas de Coxeter , , , , , , , , , , , , .

Los grupos infinitos son ₃[12]₂, ₄[8]₂, ₆[6]₂, ₃[6]₃, ₆[4]₃, ₄[4]₄ y ₆[3]₆ o , , , , , , .

Los subgrupos de índice 2 existen al eliminar un reflejo real: _p[2q]₂ → _p[q]_p. También existen subgrupos de índice r para 4 ramas: _p[4]_r → _p[r]_p.

Para la familia infinita _p[4]₂, para cualquier p= 2, 3, 4,..., hay dos subgrupos: _p[4]₂ → [p], índice p, while y _p[4]₂ → _p[ ]×_p[ ], índice 2.

Cálculo con matrices de reflexión como generadores de simetría

Un grupo de Coxeter, representado por el diagrama de Coxeter-Dynkin , recibe la notación de Coxeter [p,q] según los órdenes de las ramas. Cada nodo en el diagrama de Coxeter representa un espejo, por convención llamado ρ_i (y matriz R_i). Los generadores de este grupo [p,q] son reflexiones: ρ₀, ρ₁ y ρ₂. La subsimetría rotacional se define como producto de reflexiones: por convención, σ_0,1 (y la matriz S_0,1)= ρ₀ρ₁ representa una rotación del ángulo Π/p, y σ_1,2= ρ₁ρ₂ es una rotación del ángulo Π/q, y σ_0,2= ρ₀ρ₂ representa una rotación según un ángulo de Π/2.

[p,q]⁺, , es un subgrupo de índice 2 representado por dos generadores de rotación, cada uno de los cuales es producto de dos reflexiones: σ_0,1, σ_1,2, y representa rotaciones según los ángulos Π/p y Π/q respectivamente.

Con una rama par, [p⁺,2q], o , es otro subgrupo de índice 2, representado por el generador de rotación σ_0,1, y el de reflexión ρ₂.

Con ramas pares, [2p⁺,2q⁺], , es un subgrupo de índice 4 con dos generadores, construido como un producto de las tres matrices de reflexión. Por convención, como ψ_0,1,2 y ψ_1,2,0, que son rotorreflexiones, que representan una reflexión y una rotación o reflexión.

En el caso de grupos afines de Coxeter como o , un espejo, generalmente el último, se traslada fuera del origen. Un generador traslación t_0,1 (y una matriz T_0,1) se construyen como el producto de dos (o un número par de) reflejos, incluido el reflejo afín. Un reflexión deslizada (reflexión más traslación) puede ser el producto de un número impar de reflexiones f_0,1,2 (y matriz V_0,1,2), como el subgrupo de índice 4 : [4⁺,4⁺]= .

Otro generador compuesto, por convención como ζ (y matriz Z), representa la inversión, asignando un punto a su inversa. Para [4,3] y [5,3], ζ = (ρ₀ρ₁ρ₂)^h/2, donde h es 6 y 10 respectivamente, el número de Coxeter para cada familia. Para el grupo de Coxeter 3D [p,q] (), este subgrupo es una rotorreflexión [2⁺,h⁺].

Los grupos de Coxeter se clasifican por su rango, siendo el número de nodos en su diagrama de Coxeter. La estructura de los grupos también se proporciona con sus tipos de grupos abstractos: en este artículo, los grupos diédricos abstractos se representan como Dih_n, y los grupos cíclicos se representan como Z_n, con Dih₁ =Z₂.

Rango 2

Grupos diédricos	Grupos cíclicos
[2]	[2]⁺
[3]	[3]⁺
[4]	[4]⁺
[6]	[6]⁺

Por ejemplo, en 2D, el grupo de Coxeter [p] () está representado por dos matrices de reflexión R₀ y R₁, la simetría cíclica [p]⁺ () está representada por el generador de rotación de la matriz S_0,1.

[p],
	Reflexiones		Rotación
Nombre	R₀	R₁	S_0,1=R₀×R₁
Orden	2	2	p
Matriz	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p\\\sin 2\pi /p&-\cos 2\pi /p\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p\\-\sin 2\pi /p&\cos 2\pi /p\\\end{smallmatrix}}\right]$

[2],
	Reflexiones		Rotación
Nombre	R₀	R₁	S_0,1=R₀×R₁
Orden	2	2	2
Matriz	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$

[3],
	Reflexiones		Rotación
Nombre	R₀	R₁	S_0,1=R₀×R₁
Orden	2	2	3
Matriz	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&{\sqrt {3}}/2\\{\sqrt {3}}/2&-1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&{\sqrt {3}}/2\\-{\sqrt {3}}/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$

[4],
	Reflexiones		Rotación
Nombre	R₀	R₁	S_0,1=R₀×R₁
Orden	2	2	4
Matriz	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$

[6],
	Reflexiones		Rotación
Nombre	R₀	R₁	S_0,1=R₀×R₁
Orden	2	2	6
Matriz	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\sqrt {3}}/2&1/2\\1/2&-{\sqrt {3}}/2\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\sqrt {3}}/2&1/2\\-1/2&{\sqrt {3}}/2\\\end{smallmatrix}}\right]$

[8],
	Reflexiones		Rotación
Nombre	R₀	R₁	S_0,1=R₀×R₁
Orden	2	2	8
Matriz	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\sqrt {2}}/2&{\sqrt {2}}/2\\{\sqrt {2}}/2&-{\sqrt {2}}/2\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\sqrt {2}}/2&{\sqrt {2}}/2\\-{\sqrt {2}}/2&{\sqrt {2}}/2\\\end{smallmatrix}}\right]$

Rango 3

Los grupos de Coxeter de rango finito 3 son [1,p], [2,p], [3,3], [3,4] y [3,5].

Para reflejar un punto a través de un plano $ax+by+cz=0$ (que pasa por el origen), se puede usar $\mathbf {A} =\mathbf {I} -2\mathbf {NN} ^{T}$ , donde $\mathbf {I}$ es la matriz identidad 3×3 y $\mathbf {N}$ es el vector unitario tridimensional para el vector normal del plano. Si la norma de $a,b,$ y $c$ es la unidad, la matriz de transformación se puede expresar como:

\mathbf {A} =\left[{\begin{smallmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac\\-2ab&1-2b^{2}&-2bc\\-2ac&-2bc&1-2c^{2}\end{smallmatrix}}\right]

[p,2]

El grupo de reflexión finito tridimensional reducible es el grupo diedro, [p,2], de orden 4p, . Los generadores de reflexión son las matrices R₀, R₁, R₂. R₀²=R₁²=R₂²=(R₀×R₁)³=(R₁×R₂)³=(R₀×R₂)²=Identidad. [p,2]⁺ () se genera mediante 2 de 3 rotaciones: S_0,1, S_1,2 y S_0,2. Una rotorreflexión de orden p es generada por V_0,1,2, el producto de las 3 reflexiones.

[p,2],
	Reflexiones			Rotación			Rotorreflexión
Nombre	R₀	R₁	R₂	S_0,1	S_1,2	S_0,2	V_0,1,2
Grupo
Orden	2	2	2	p	2		2p
Matriz	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p&0\\\sin 2\pi /p&-\cos 2\pi /p&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p&0\\-\sin 2\pi /p&\cos 2\pi /p&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p&0\\-\sin 2\pi /p&\cos 2\pi /p&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&-\sin 2\pi /p&0\\-\sin 2\pi /p&-\cos 2\pi /p&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$

[3,3]

El grupo de reflexión finito tridimensional irreducible más simple es el de simetría tetraédrica, [3,3], y de orden 24, . Los generadores de reflexión, a partir de una construcción D₃=A₃, son las matrices R₀, R₁, R₂. R₀²=R₁²=R₂²=(R₀×R₁)³=(R₁×R₂)³=(R₀×R₂)²=Identidad. [3,3]⁺ () se genera mediante 2 de 3 rotaciones: S_0,1, S_1,2 y S_0,2. Un trionic subgroup, isomorfo a [2⁺,4], orden 8, es generado por S_0,2 y R₁. Una rotorreflexión de orden 4 se genera mediante V_0,1,2, el producto de las 3 reflexiones.

[3,3],
	Reflexiones			Rotaciones			Rotorreflexión
Nombre	R₀	R₁	R₂	S_0,1	S_1,2	S_0,2	V_0,1,2
Grupo
Orden	2	2	2	3		2	4
Matriz	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&0&-1\\1&0&0\\0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&0&-1\\0&-1&0\\1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$
	(0,1,−1)_n	(1,−1,0)_n	(0,1,1)_n	(1,1,1)_axis	(1,1,−1)_axis	(1,0,0)_axis

[4,3]

Otro grupo de reflexión finito tridimensional irreducible es el de simetría octaédrica, [4,3], de orden 48, . Las matrices de reflexión generadoras son R₀, R₁, R₂. R₀²=R₁²=R₂²=(R₀×R₁)⁴=(R₁×R₂)³=(R₀×R₂)²=Identidad. La simetría octaédrica quiral, [4,3]⁺, () se genera mediante 2 de 3 rotaciones: S_0,1, S_1,2 y S_0,2. La simetría tetraédrica [4,3⁺], () se genera mediante la reflexión R₀ y la rotación S_1,2. Una rotorreflexión de orden 6 es generada por V_0,1,2, el producto de las 3 reflexiones.

[4,3],
	Reflexiones			Rotaciones			Rotorreflexión
Nombre	R₀	R₁	R₂	S_0,1	S_1,2	S_0,2	V_0,1,2
Grupo
Orden	2	2	2	4	3	2	6
Matriz	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$
	(0,0,1)_n	(0,1,−1)_n	(1,−1,0)_n	(1,0,0)_axis	(1,1,1)_axis	(1,−1,0)_axis

[5,3]

El grupo de reflexión finito tridimensional irreducible final es el de la simetría icosaédrica, [5,3], y de orden 120, . Las matrices generadoras de reflexión son R₀, R₁, R₂. R₀²=R₁²=R₂²=(R₀×R₁)⁵=(R₁×R₂)³=(R₀×R₂)²=Identidad. [5,3]⁺ () se genera mediante 2 de 3 rotaciones: S_0,1, S_1,2 y S_0,2. Una rotorreflexión de multiplicidad 10 se genera mediante V_0,1,2, el producto de las 3 reflexiones.

[5,3],
	Reflexiones			Rotaciones			Rotorreflexión
Nombre	R₀	R₁	R₂	S_0,1	S_1,2	S_0,2	V_0,1,2
Grupo
Orden	2	2	2	5	3	2	10
Matriz	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$
	(1,0,0)_n	(φ,1,φ−1)_n	(0,1,0)_n	(φ,1,0)_axis	(1,1,1)_axis	(1,0,0)_axis

Rango 4

Véase también: Grupos puntuales en cuatro dimensiones

Hay 4 Grupo de Coxeter irreducibles en 4 dimensiones: [3,3,3], [4,3,3], [3^1,1,1], [3,4,4], [5,3,3], así como una familia infinita de grupos duoprismáticos [p,2,q].

[p,2,q]

El grupo duoprismático, [p,2,q], tiene orden 4pq.

[p,2,q],
	Reflexiones
Nombre	R₀	R₁	R₂	R₃
Grupo
Orden	2	2	2	2
Matriz	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p&0&0\\\sin 2\pi /p&-\cos 2\pi /p&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos 2\pi /q&\sin 2\pi /q\\0&0&\sin 2\pi /q&-\cos 2\pi /q\\\end{smallmatrix}}\right]$

[[ p,2,p]]

El grupo duoprismático puede duplicarse en orden, hasta 8p², con una rotación de 2 veces entre los dos planos.

[[ p,2,p]],
	Rotación	Reflexiones
Nombre	T	R₀	R₁	R₂=TR₁T	R₃=TR₀T
Grupo
Orden	2	2	2
Matriz	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p&0&0\\\sin 2\pi /p&-\cos 2\pi /p&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&0&0&-1\\0&0&-1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos 2\pi /p&\sin 2\pi /p\\0&0&\sin 2\pi /p&-\cos 2\pi /p\\\end{smallmatrix}}\right]$

[3,3,3]

La simetría hipertetraédrica, [3,3,3], con orden 120, es más fácil de representar con 4 espejos en 5 dimensiones, como un subgrupo de [4,3,3,3].

[3,3,3],
	Reflexiones				Rotaciones						Rotorreflexiones		Rotación doble
Nombre	R₀	R₁	R₂	R₃	S_0,1	S_1,2	S_2,3	S_0,2	S_1,3	S_2,3	V_0,1,2	V_0,1,3	W_0,1,2,3
Grupo
Orden	2	2	2	2	3			2			4	6	5
Matriz	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&1&0&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\1&0&0&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$
	(0,0,0,1,-1)_n	(0,0,1,−1,0)_n	(0,1,−1,0,0)_n	(1,−1,0,0,0)_n

[[3,3,3]]

El grupo extendido [[3,3,3]], de orden 240, se duplica mediante una matriz de rotación T de multiplicidad 2, aquí invirtiendo el orden de las coordenadas y el signo: Hay 3 generadores {T, R₀, R₁}. Dado que T es autorrecíproco R₃=TR₀T, y R₂=TR₁T.

[[3,3,3]],
	Rotación	Reflexiones
Nombre	T	R₀	R₁	TR₁T=R₂	TR₀T=R₃
Grupo
Orden	2	2	2	2	2
Matriz	$\left[{\begin{smallmatrix}0&0&0&0&-1\\0&0&0&-1&0\\0&0&-1&0&0\\0&-1&0&0&0\\-1&0&0&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$
		(0,0,0,1,-1)_n	(0,0,1,−1,0)_n	(0,1,−1,0,0)_n	(1,−1,0,0,0)_n

[4,3,3]

Un grupo de reflexión finito de 4 dimensiones irreducible es un grupo hiperoctaédrico (o grupo hexadecacórico (para el hexadecacoron), B₄=[4,3,3], de orden 384, . Las matrices generadoras de las operaciones de reflexión son R₀, R₁, R₂, R₃. R₀²=R₁² =R₂²=R₃²=(R₀×R₁)⁴=(R₁×R₂)³=(R₂×R₃)³=(R₀×R₂)²=(R₁×R₃)²=(R₀×R₃)²=Identidad.

La simetría hiperoctaédrica quiral, [4,3,3]⁺, () se genera mediante 3 de 6 rotaciones: S_0,1, S_1,2, S_2,3, S_0,2, S_1,3 y S_0,3.La simetría hiperpiritoédrica [4,(3,3)⁺], () se genera mediante la reflexión R₀ y las rotaciones S_1,2 y S_2,3. Las rotaciones en el espacio euclídeo 4-dimensional genera un W_0,1,2,3 de multiplicidad 8, el producto de las 4 reflexiones.

[4,3,3],
	Reflexiones				Rotaciones						Rotorreflexión				Rotación doble
Nombre	R₀	R₁	R₂	R₃	S_0,1	S_1,2	S_2,3	S_0,2	S_1,3	S_0,3	V_1,2,3	V_0,1,3	V_0,1,2	V_0,2,3	W_0,1,2,3
Grupo
Orden	2	2	2	2	4	3		2			4		6		8
Matriz	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&1&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&0&0&-1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\-1&0&0&0\\\end{smallmatrix}}\right]$
	(0,0,0,1)_n	(0,0,1,−1)_n	(0,1,−1,0)_n	(1,−1,0,0)_n

[3,3^1,1]

Un medio grupo de [4,3,3] es [3,3^1,1], , de orden 192. Comparte 3 generadores con el grupo [4,3,3], pero tiene dos copias de un generador adyacente, uno reflejado en el espejo eliminado.

[3,3^1,1],
	Reflexiones
Nombre	R₀	R₁	R₂	R₃
Grupo
Orden	2	2	2	2
Matriz	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right]$
	(1,−1,0,0)_n	(0,1,−1,0)_n	(0,0,1,−1)_n	(0,0,1,1)_n

[3,4,3]

Un grupo reflexivo finito de 4 dimensiones irreducible es el grupo icositetracórico (para el icositetracoron), F₄=[3,4,3], de orden 1152, . Las matrices generadoras de reflexión son R₀, R₁, R₂, R₃. R₀²=R₁²=R₂²=R₃²=(R₀×R₁)³=(R₁×R₂)⁴=(R₂×R₃)³=(R₀×R₂)²=(R₁×R₃)²=(R₀×R₃)²= Identidad.

La simetría icositetracórica quiral, [3,4,3]⁺, () se genera mediante 3 de 6 rotaciones: S_0,1, S_1,2, S_2,3, S_0,2, S_1,3 y S_0,3. El grupo icósico disminuido [3,4,3⁺] () es generado por la reflexión R₀ y las rotaciones S_1,2 y S_2,3. Las rotaciones en el espacio euclídeo 4-dimensional generan un W_0,1,2,3 de multiplicidad 12, el producto de las 4 reflexiones.

[3,4,3],
	Reflexiones				Rotaciones
Nombre	R₀	R₁	R₂	R₃	S_0,1	S_1,2	S_2,3	S_0,2	S_1,3	S_0,3
Grupo
Orden	2	2	2	2	3	4	3	2
Matriz	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&-1/2&1/2&-1/2\\-1/2&1/2&1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&1/2&-1/2\\-1/2&1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&1/2&-1/2&-1/2\\1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&1/2&-1/2\\-1/2&1/2&-1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$
	(1,−1,0,0)_n	(0,1,−1,0)_n	(0,0,1,0)_n	(−1,−1,−1,−1)_n

[3,4,3],
	Rotoreflection				Rotación doble
Nombre	V_1,2,3	V_0,1,3	V_0,1,2	V_0,2,3	W_0,1,2,3
Grupo
Orden	6				12
Matriz	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&1/2&-1/2\\1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&1/2&1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&1/2&-1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&1/2&1/2&-1/2\\1/2&-1/2&1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&1/2&-1/2&-1/2\\1/2&-1/2&1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\1/2&-1/2&-1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$

[[3,4,3]]

El grupo [[3,4,3]] extiende [3,4,3] por una rotación de multiplicidad 2, T, duplicando su orden a 2304.

[[3,4,3]],
	Rotación	Reflexiones
Nombre	T	R₀	R₁	R₂= TR₁T	R₃= TR₀T
Grupo
Orden	2	2	2	2	2
Matriz		$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&-1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&1/2&-1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&1/2&-1/2\\-1/2&-1/2&-1/2&1/2\\\end{smallmatrix}}\right]$
		(1,−1,0,0)_n	(0,1,−1,0)_n	(0,0,1,0)_n	(−1,−1,−1,−1)_n

[5,3,3]

Proyecciones estereográficas
[5,3,3]⁺ los 72 giros de orden-5	[5,3,3]⁺ los 200 giros de orden-3
[5,3,3]⁺ los 450 giros de orden-2	[5,3,3]⁺ todos los giros

La simetría hipericosaédrica, [5,3,3], de orden 14400, se representa como . Las matrices generadoras de reflexión son R₀, R₁, R₂, R₃. R₀²=R₁²=R₂²=R₃²=(R₀×R₁)⁵=(R₁×R₂)³=(R₂×R₃)³=(R₀×R₂)²=(R₀×R₃)²=(R₁×R₃)²= Identidad. [5,3,3]⁺ () se genera mediante 3 rotaciones: S_0,1= R₀×R₁, S_1,2= R₁×R₂, S_2,3= R₂×R₃, etc.

[5,3,3],
	Reflexiones
Nombre	R₀	R₁	R₂	R₃
Grupo
Orden	2	2	2	2
Matriz	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&0\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&0\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}&0\\0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\0&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]$
	(1,0,0,0)_n	(φ,1,φ−1,0)_n	(0,1,0,0)_n	(0,−1,φ,1−φ)_n

Rango 8

[3^4,2,1]

El grupo E8 de Coxeter, [3^4,2,1], , tiene 8 nodos espejo, y su orden es de 696729600 (192x10!). E7 y E6, [3^3,2,1], y [3^2,2,1], se pueden construir ignorando el primer espejo o los dos primeros espejos, respectivamente.

E8=[3^4,2,1],
	Reflexiones
Nombre	R₀	R₁	R₂	R₃	R₄	R₅	R₆	R₇
Grupo
Orden	2	2	2	2	2	2	2	2
Matriz	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}3/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4\\-1/4&3/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4\\-1/4&-1/4&3/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4\\-1/4&-1/4&-1/4&3/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4\\-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&3/4&-1/4&-1/4&-1/4\\-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&3/4&-1/4&-1/4\\-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&3/4&-1/4\\-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&-1/4&3/4\end{smallmatrix}}\right]$
	(1,-1,0,0,0,0,0,0)_n	(0,1,-1,0,0,0,0,0)_n	(0,0,1,-1,0,0,0,0)_n	(0,0,0,1,-1,0,0,0)_n	(0,0,0,0,1,-1,0,0)_n	(0,0,0,0,0,1,-1,0)_n	(0,0,0,0,0,1,1,0)_n	(1,1,1,1,1,1,1,1)_n

Grupo afín de rango 2

Las matrices afines se representan agregando una fila y una columna adicionales, siendo la última fila cero excepto la última entrada 1. La última columna representa un vector de traslación.

[∞]

El grupo afín [∞], , puede estar dada por dos matrices de reflexión, x=0 y x=1.

[∞],
	Reflexiones		Traslación
Nombre	R₀	R₁	S_0,1
Grupo
Orden	2	2	∞
Matriz	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&1\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&-1\\0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$
Hiperplano	x=0	x=1

Grupos afines de rango 3

[4,4]

Véase también: Tetraquis teselado cuadrado

El grupo afín [4,4], , (p4m), puede estar dado por tres matrices de reflexión, reflexiones sobre el eje x (y=0), una diagonal (x=y) y la reflexión afín sobre la línea recta (x=1). [4,4]⁺ () (p4) es generado por S_0,1 S_1,2 y S_0,2. [4⁺,4⁺] () (pgg) se genera mediante la rotación doble S_0,2 y una reflexión deslizada (transrreflexión) V_0,1,2. [4⁺,4] () (p4g) es generado por S_0,1 y R₃. El grupo [(4,4,2⁺)] () (cmm), se genera mediante la rotación doble S_1,3 y la reflexión R₂.

[4,4],
	Reflexiones			Rotaciones			Deslizamientos
Nombre	R₀	R₁	R₂	S_0,1	S_1,2	S_0,2	V_0,1,2	V_0,2,1
Grupo
Orden	2	2	2	4		2	∞ (2)
Matriz	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&2\\0&1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\-1&0&2\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&2\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\1&0&-2\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&-1&2\\-1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$
Hiperplano	y=0	x=y	x=1

[3,6]

El grupo afín [3,6], , (p6m), puede estar dado por tres matrices de reflexión, reflexiones en el eje x (y=0), la línea recta y=(√3/2)x, y la línea recta vertical x=1.

[3,6],
	Reflexiones			Rotaciones			Deslizamientos
Nombre	R₀	R₁	R₂	S_0,1	S_1,2	S_0,2	V_0,1,2	V_0,2,1
Grupo
Orden	2	2	2	3	6	2	∞ (2)
Matrix	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&{\sqrt {3}}/2&0\\{\sqrt {3}}/2&1/2&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&2\\0&1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&{\sqrt {3}}/2&0\\-{\sqrt {3}}/2&-1/2&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&{\sqrt {3}}/2&-1\\-{\sqrt {3}}/2&1/2&{\sqrt {3}}\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&2\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&{\sqrt {3}}/2&-1\\{\sqrt {3}}/2&-1/2&-{\sqrt {3}}\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1/2&-{\sqrt {3}}/2&2\\-{\sqrt {3}}/2&-1/2&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$
Hiperplano	y=0	y=(√3/2)x	x=1

[3^[3]]

El grupo afín [3^[3]] se puede construir como un medio grupo de . R₂ se reemplaza por R'₂= R₂×R₁×R₂, representado por el hiperplano: y+(√3/2)x=2. El dominio fundamental es un triángulo equilátero con longitud de arista 2.

[3^[3]],
	Reflexiones			Rotaciones			Deslizamientos
Nombre	R₀	R₁	R'₂= R₂×R₁×R₂	S_0,1	S_1,2	S_0,2	V_0,1,2	V_0,2,1
Grupo
Orden	2	2	2	3			∞ (2)
Matriz	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&{\sqrt {3}}/2&0\\{\sqrt {3}}/2&1/2&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&-{\sqrt {3}}/2&3\\-{\sqrt {3}}/2&1/2&{\sqrt {3}}\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&{\sqrt {3}}/2&0\\-{\sqrt {3}}/2&-1/2&2{\sqrt {3}}\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&-{\sqrt {3}}/2&3\\{\sqrt {3}}/2&-1/2&-{\sqrt {3}}\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&{\sqrt {3}}/2&0\\{\sqrt {3}}/2&1/2&-2{\sqrt {3}}\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1/2&-{\sqrt {3}}/2&3\\-{\sqrt {3}}/2&1/2&-{\sqrt {3}}\\0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$
Hiperplano	y=0	y=(√3/2)x	y+(√3/2)x=2

Grupos afines de rango 4

[4,3,4]

El grupo afín es [4,3,4] (), y puede estar dado por cuatro matrices de reflexión. El espejo R₀ se puede colocar en el plano z=0. El espejo R₁ se puede colocar en el plano y=z. El espejo R₂ se puede colocar en el plano x=y. El espejo R₃ se puede colocar en el plano x=1. [4,3,4]⁺ () es generado por S_0,1, S_1,2 y S_2,3.

[4,3,4],
	Reflexiones				Rotaciones						Deslizamientos		Eje helicoidal
Nombre	R₀	R₁	R₂	R₃	S_0,1	S_1,2	S_2,3	S_0,2	S_0,3	S_1,3	T_0,1,2	T_1,2,3	U_0,1,2,3
Grupo
Orden	2	2	2	2	4	3	4	2			6		∞ (3)
Matriz	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0&2\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\-1&0&0&2\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0&2\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0&2\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\-1&0&0&2\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&-2\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$
Hiperplano	z=0	y=z	x=y	x=1

[[ 4,3,4]]

El grupo extendido [[ 4,3,4]] duplica el orden del grupo, sumando una matriz de rotación doble T, con un eje fijo a través de los puntos (1,1/2,0) y (1/2,1/2,1/2). Los generadores son {R₀,R₁,T}. R₂= T×R₁×T y R₃= T×R₀×T.

[[ 4,3,4]],
	Rotación	Reflexiones
Nombre	T	R₀	R₁	R₂= T×R₁×T	R₃= T×R₀×T
Grupo
Orden	2	2	2	2	2
Matriz	$\left[{\begin{smallmatrix}0&0&-1&1\\0&-1&0&1\\-1&0&0&1\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0&2\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$
Hiperplano	Punto (1/2,1/2,1/2) Eje (-1,0,1)	z=0	y=z	x=y	x=1

[4,3^1,1]

El grupo [4,3^1,1] se puede construir a partir de [4,3,4], calculando [4,3,4,1⁺], , como R'₃=R₃×R₂×R₃, con el nuevo R'₃ como una imagen de R₂ a través de R₃.

[4,3^1,1],
	Reflexiones				Rotaciones
Nombre	R₀	R₁	R₂	R'₃	S_0,1	S_1,2	S_1,3	S_0,2	S_0,3	S_2,3
Grupo
Orden	2	2	2	2	3	3	3	2
Matriz	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&-1&0&2\\-1&0&0&2\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&-1&0&2\\0&0&1&0\\-1&0&0&2\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&-1&0&2\\-1&0&0&2\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0&2\\0&-1&0&2\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$
Hiperplano	z=0	y=z	x=y	x+y=2

[3^[4]]

El grupo [3^[4]] se puede construir a partir de [4,3,4], eliminando el primer y el último espejo, [1⁺,4,3,4,1⁺], , mediante R'₁=R₀×R₁×R₀ y R '₃=R₃×R₂×R₃.

[3^[4]]
	Reflexiones				Rotaciones
Nombre	R'₀	R₁	R₂	R'₃	S_0,1	S_1,2	S_1,3	S_0,2	S_0,3	S_2,3
Grupo
Orden	2	2	2	2	3	3	3	2
Matriz	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&-1&0&2\\-1&0&0&2\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&-1&0&2\\0&0&1&0\\-1&0&0&2\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&1&0&0\\0&0&-1&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}0&-1&0&2\\0&0&-1&0\\1&0&0&-2\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$	$\left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0&2\\0&-1&0&2\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{smallmatrix}}\right]$
Hiperplano	y=-z	y=z	x=y	x+y=2

Referencias

↑ Johnson (2018), 11.6 Subgroups and extensions, p 255, halving subgroups
↑ ^a ^b Johnson (2018), pp.231-236, and p 245 Table 11.4 Finite groups of isometries in 3-space
↑ Johnson (2018), 11.6 Subgroups and extensions, p 259, radical subgroup
↑ Johnson (2018), 11.6 Subgroups and extensions, p 258, trionic subgroups
↑ Conway, 2003, p.46, Table 4.2 Chiral groups II
↑ Coxeter and Moser, 1980, Sec 9.5 Commutator subgroup, p. 124–126
↑ Johnson, Norman W.; Weiss, Asia Ivić (1999). «Quaternionic modular groups». Linear Algebra and Its Applications 295 (1–3): 159-189. doi:10.1016/S0024-3795(99)00107-X.
↑ The Crystallographic Space groups in Geometric algebra, D. Hestenes and J. Holt, Journal of Mathematical Physics. 48, 023514 (2007) (22 pages) PDF [1] Archivado el 20 de octubre de 2020 en Wayback Machine.
↑ Coxeter, Regular Complex Polytopes, 9.7 Two-generator subgroups reflections. pp. 178–179

Bibliografía

H.S.M. Coxeter:
- Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, editied by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
  - (Documento 22) Coxeter, H.S.M. (1940), «Regular and Semi Regular Polytopes I», Math. Z. 46: 380-407, S2CID 186237114, doi:10.1007/bf01181449 .
  - (Documento 23) Coxeter, H.S.M. (1985), «Regular and Semi-Regular Polytopes II», Math. Z. 188 (4): 559-591, S2CID 120429557, doi:10.1007/bf01161657 .
  - (Documento 24) Coxeter, H.S.M. (1988), «Regular and Semi-Regular Polytopes III», Math. Z. 200: 3-45, S2CID 186237142, doi:10.1007/bf01161745 .
Coxeter, H. S. M.; Moser, W. O. J. (1980). Generators and Relations for Discrete Groups. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9.
Norman Johnson Uniform Polytopes, Manuscript (1991)
- N.W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. (1966)
- Norman W. Johnson and Asia Ivic Weiss Quadratic Integers and Coxeter Groups Archivado el 26 de marzo de 2023 en Wayback Machine. PDF Can. J. Math. Vol. 51 (6), 1999 pp. 1307–1336
- N. W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups [3]
Conway, John Horton; Delgado Friedrichs, Olaf; Huson, Daniel H.; Thurston, William P. (2001), «On three-dimensional space groups», Beiträge zur Algebra und Geometrie 42 (2): 475-507, ISSN 0138-4821, MR 1865535 .
John H. Conway and Derek A. Smith, On Quaternions and Octonions, 2003, ISBN 978-1-56881-134-5
The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 Ch.22 35 prime space groups, ch.25 184 composite space groups, ch.26 Higher still, 4D point groups

Datos: Q5179942

[subgroups2-1] Johnson (2018), 11.6 Subgroups and extensions, p 255, halving subgroups

[subgroups-2] Johnson (2018), pp.231-236, and p 245 Table 11.4 Finite groups of isometries in 3-space

[3] Johnson (2018), 11.6 Subgroups and extensions, p 259, radical subgroup

[4] Johnson (2018), 11.6 Subgroups and extensions, p 258, trionic subgroups

[5] Conway, 2003, p.46, Table 4.2 Chiral groups II

[6] Coxeter and Moser, 1980, Sec 9.5 Commutator subgroup, p. 124–126

[7] Johnson, Norman W.; Weiss, Asia Ivić (1999). «Quaternionic modular groups». Linear Algebra and Its Applications 295 (1–3): 159-189. doi:10.1016/S0024-3795(99)00107-X.

[8] The Crystallographic Space groups in Geometric algebra, D. Hestenes and J. Holt, Journal of Mathematical Physics. 48, 023514 (2007) (22 pages) PDF [1] Archivado el 20 de octubre de 2020 en Wayback Machine.

[9] Coxeter, Regular Complex Polytopes, 9.7 Two-generator subgroups reflections. pp. 178–179

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[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

Grupos reflexivos

Subgrupos

Reducción a la mitad de subgrupos y grupos extendidos

Subgrupos radicales

Subgrupos triónicos

Subgrupos triónicos de simetría tetraédrica

Inversión central

Rotaciones y rotorreflexiones

Subgrupos conmutadores

Subgrupos de ejemplo

Subgrupos de ejemplo de rango 2

Subgrupos de ejemplo euclídeos de rango 3

Subgrupos de ejemplo hiperbólicos

Simetría extendida

Grupos de rango 1

Grupos de rango 2

Grupos de rango 3

Grupos afines

Grupos de rango 4

Grupos de puntos

Subgrupos

Grupos espaciales

Grupos lineales

Grupo duoprismático

Grupos del papel pintado

Reflexiones complejas

Cálculo con matrices de reflexión como generadores de simetría

Rango 2

Rango 3

[p,2]

[3,3]

[4,3]

[5,3]

Rango 4

[p,2,q]

[[ p,2,p]]

[3,3,3]

[[3,3,3]]

[4,3,3]

[3,31,1]

[3,4,3]

[[3,4,3]]

[5,3,3]

Rango 8

[34,2,1]

Grupo afín de rango 2

[∞]

Grupos afines de rango 3

[4,4]

[3,6]

[3[3]]

Grupos afines de rango 4

[4,3,4]

[[ 4,3,4]]

[4,31,1]

[3[4]]

Referencias

Bibliografía

[3,3^1,1]

[3^4,2,1]

[3^[3]]

[4,3^1,1]

[3^[4]]