En teoría de la probabilidad, para una medida de probabilidad P en un espacio de Hilbert H con el producto interno ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$, la covarianza de P es la forma bilineal Cov:  H × H → R dada por

${\displaystyle \mathrm {Cov} (x,y)=\int _{H}\langle x,z\rangle \langle y,z\rangle \,\mathrm {d} \mathbf {P} (z)}$

para todo x e y en H. El operador de covarianza C se define entonces por^[1]​

${\displaystyle \mathrm {Cov} (x,y)=\langle Cx,y\rangle }$

A partir del teorema de representación de Riesz, dicho operador existe si Cov está acotada. Dado que la covarianza es simétrica en sus argumentos, el operador de covarianza es autoadjunto. Cuando P es una medida gaussiana centrada, C también es un operador nuclear. En particular, es un operador compacto de clase de traza, es decir, tiene traza finita.

Aún más generalmente, para una medida de probabilidad P en un espacio de Banach B, la covarianza de P es la forma bilineal en el espacio dual B^#, definida por

${\displaystyle \mathrm {Cov} (x,y)=\int _{B}\langle x,z\rangle \langle y,z\rangle \,\mathrm {d} \mathbf {P} (z)}$

donde ${\displaystyle \langle x,z\rangle }$ es ahora el valor de la función lineal x en el elemento z.

De manera muy similar, la función covarianza de una función de elemento aleatorio con valor de función (en casos especiales se llama proceso estocástico o campo aleatorio) z es

${\displaystyle \mathrm {Cov} (x,y)=\int z(x)z(y)\,\mathrm {d} \mathbf {P} (z)=E(z(x)z(y))}$

donde z(x) es ahora el valor de la función z en el punto x, es decir, el valor de la funcional lineal ${\displaystyle u\mapsto u(x)}$ evaluado en z.

El operador covarianza ${\displaystyle \operatorname {C} _{\mu }:U^{*}\to U^{**}}$ de ${\displaystyle \mu }$ está definido por:

${\displaystyle \operatorname {C} _{\mu }(\varphi )(\xi ):=\int _{U}[\varphi (x)-a_{\mu }(\varphi )][\xi (x)-a_{\mu }(\xi )]\mu (\mathrm {d} x)}$

para ${\displaystyle \varphi ,\xi \in U^{*}}$, donde ${\displaystyle a_{\mu }}$ denota el valor esperado de ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle a_{\mu }(\varphi )=\int _{U}\varphi (x)\mu (\mathrm {d} x).}$^[2]​

El operador induce una aplicación simétrica ${\displaystyle \operatorname {Cov} _{\mu }:U^{*}\times U^{*}\to \mathbb {R} }$ a través de ${\displaystyle \operatorname {Cov} _{\mu }(\varphi ,\xi ):=\operatorname {C} _{\mu }(\varphi )(\xi )}$, que es bilineal y definida, se llama covarianza.

Sean ${\displaystyle a_{\mu }}$ y ${\displaystyle \varphi }$ acotados. Si ${\displaystyle U}$ es un espacio de Hilbert, entonces según el teorema de representación de Riesz para ${\displaystyle \varphi \in U^{*}}$ se cumple que ${\displaystyle \varphi (x)=\langle h,x\rangle }$ para todo ${\displaystyle x\in U}$ y ${\displaystyle h\in U}$ y ${\displaystyle a_{\mu }=\langle h,m\rangle }$ para ${\displaystyle m\in U}$, y por lo tanto

${\displaystyle \langle \operatorname {C} _{\mu }h_{1},h_{2}\rangle =\int _{U}\langle h_{1},x-m\rangle \langle h_{2},x-m\rangle \mu (\mathrm {d} x)}$

para todos los ${\displaystyle h_{1},h_{2}\in U}$.^[3]​

• Espacio de Wiener abstracto
• Teorema de Cameron-Martin
• Teorema de Feldman-Hájek
• Teorema de estructura para medidas gaussianas