En matemáticas, la parametrización de Weierstrass-Enneper de superficies mínimas es una pieza clásica de la geometría diferencial.

Alfred Enneper y Karl Weierstraß estudiaron superficies mínimas ya en 1863.

Sean ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ dos funciones en todo el plano complejo o en el disco unitario, donde ${\displaystyle g}$ es meromorfa y ${\displaystyle f}$ es analítica, de modo que dondequiera que ${\displaystyle g}$ tenga un polo de orden ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle f}$ tenga un cero de orden ${\displaystyle 2m}$ (o equivalentemente, tal que el producto ${\displaystyle fg^{2}}$ es holomorfo), y sean ${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3}}$ constantes. Entonces, la superficie con coordenadas ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$ es mínima, donde las ${\displaystyle x_{k}}$ se definen usando la parte real de una integral compleja, de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{k}(\zeta )&{}=\Re \left\{\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\,dz\right\}+c_{k},\qquad k=1,2,3\\\varphi _{1}&{}=f(1-g^{2})/2\\\varphi _{2}&{}=\mathbf {i} f(1+g^{2})/2\\\varphi _{3}&{}=fg\end{aligned}}}$

Lo contrario también es cierto: a cada superficie mínima no plana definida sobre un dominio simplemente conexo se le puede dar una parametrización de este tipo.^[1]​

Por ejemplo, la superficie de Enneper tiene f(z)= 1, g(z)= z^m.

El modelo de Weierstrass-Enneper define una superficie mínima ${\displaystyle X}$ (${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$) en un plano complejo (${\displaystyle \mathbb {C} }$). Sea ${\displaystyle \omega =u+vi}$ (el plano complejo como el espacio ${\displaystyle uv}$), la matriz jacobiana de la superficie se puede escribir como una columna de entradas complejas:

${\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}\left(1-g^{2}(\omega )\right)f(\omega )\\i\left(1+g^{2}(\omega )\right)f(\omega )\\2g(\omega )f(\omega )\end{bmatrix}}}$

donde ${\displaystyle f(\omega )}$ y ${\displaystyle g(\omega )}$ son funciones holomorfas de ${\displaystyle \omega }$.

El jacobiano ${\displaystyle \mathbf {J} }$ representa los dos vectores tangentes ortogonales de la superficie:^[2]​

${\displaystyle \mathbf {X_{u}} ={\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \mathbf {J} _{1}\\\operatorname {Re} \mathbf {J} _{2}\\\operatorname {Re} \mathbf {J} _{3}\end{bmatrix}}\;\;\;\;\mathbf {X_{v}} ={\begin{bmatrix}-\operatorname {Im} \mathbf {J} _{1}\\-\operatorname {Im} \mathbf {J} _{2}\\-\operatorname {Im} \mathbf {J} _{3}\end{bmatrix}}}$

La superficie normal está dada por

${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} ={\frac {\mathbf {X_{u}} \times \mathbf {X_{v}} }{|\mathbf {X_{u}} \times \mathbf {X_{v}} |}}={\frac {1}{|g|^{2}+1}}{\begin{bmatrix}2\operatorname {Re} g\\2\operatorname {Im} g\\|g|^{2}-1\end{bmatrix}}}$

El jacobiano ${\displaystyle \mathbf {J} }$ conduce a una serie de propiedades importantes: ${\displaystyle \mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{v}} =0}$, ${\displaystyle \mathbf {X_{u}} ^{2}=\operatorname {Re} (\mathbf {J} ^{2})}$, ${\displaystyle \mathbf {X_{v}} ^{2}=\operatorname {Im} (\mathbf {J} ^{2})}$, ${\displaystyle \mathbf {X_{uu}} +\mathbf {X_{vv}} =0}$. Las demostraciones se pueden encontrar en el ensayo de Sharma: la representación de Weierstrass siempre da una superficie mínima.^[3]​ Las derivadas se pueden utilizar para construir la matriz de la primera forma fundamental:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{u}} &\;\;\mathbf {X_{u}} \cdot \mathbf {X_{v}} \\\mathbf {X_{v}} \cdot \mathbf {X_{u}} &\;\;\mathbf {X_{v}} \cdot \mathbf {X_{v}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$

y la matriz de la segunda forma fundamental

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {X_{uu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} &\;\;\mathbf {X_{uv}} \cdot \mathbf {\hat {n}} \\\mathbf {X_{vu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} &\;\;\mathbf {X_{vv}} \cdot \mathbf {\hat {n}} \end{bmatrix}}}$

Finalmente, un punto ${\displaystyle \omega _{t}}$ en el plano complejo se asigna a un punto ${\displaystyle \mathbf {X} }$ en la superficie mínima en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ mediante

${\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{1}d\omega \\\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{2}d\omega \\\operatorname {Re} \int _{\omega _{0}}^{\omega _{t}}\mathbf {J} _{3}d\omega \end{bmatrix}}}$

donde ${\displaystyle \omega _{0}=0}$ para todas las superficies mínimas del documento, excepto en la superficie mínima de Costa, en la que ${\displaystyle \omega _{0}=(1+i)/2}$.

Los ejemplos clásicos de superficies mínimas completas embebidas en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ con topología finita incluyen el plano, la catenoide, el helicoide y la superficie mínima de Costa. La superficie de Costa involucra a las funciones elípticas de Weierstraß ${\displaystyle \wp }$:^[4]​

${\displaystyle g(\omega )={\frac {A}{\wp '(\omega )}}}$

${\displaystyle f(\omega )=\wp (\omega )}$

donde ${\displaystyle A}$ es una constante.^[5]​

Eligiendo las funciones ${\displaystyle f(\omega )=e^{-i\alpha }e^{\omega /A}}$ y ${\displaystyle g(\omega )=e^{-\omega /A}}$ se obtiene una familia de superficies mínimas de un parámetro

${\displaystyle \varphi _{1}=e^{-i\alpha }\sinh \left({\frac {\omega }{A}}\right)}$

${\displaystyle \varphi _{2}=ie^{-i\alpha }\cosh \left({\frac {\omega }{A}}\right)}$

${\displaystyle \varphi _{3}=e^{-i\alpha }}$

${\displaystyle \mathbf {X} (\omega )=\operatorname {Re} {\begin{bmatrix}e^{-i\alpha }A\cosh \left({\frac {\omega }{A}}\right)\\ie^{-i\alpha }A\sinh \left({\frac {\omega }{A}}\right)\\e^{-i\alpha }\omega \\\end{bmatrix}}=\cos(\alpha ){\begin{bmatrix}A\cosh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\cos \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\-A\cosh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\sin \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\\operatorname {Re} (\omega )\\\end{bmatrix}}+\sin(\alpha ){\begin{bmatrix}A\sinh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\sin \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\A\sinh \left({\frac {\operatorname {Re} (\omega )}{A}}\right)\cos \left({\frac {\operatorname {Im} (\omega )}{A}}\right)\\\operatorname {Im} (\omega )\\\end{bmatrix}}}$

Eligiendo los parámetros de la superficie como ${\displaystyle \omega =s+i(A\phi )}$:

${\displaystyle \mathbf {X} (s,\phi )=\cos(\alpha ){\begin{bmatrix}A\cosh \left({\frac {s}{A}}\right)\cos \left(\phi \right)\\-A\cosh \left({\frac {s}{A}}\right)\sin \left(\phi \right)\\s\\\end{bmatrix}}+\sin(\alpha ){\begin{bmatrix}A\sinh \left({\frac {s}{A}}\right)\sin \left(\phi \right)\\A\sinh \left({\frac {s}{A}}\right)\cos \left(\phi \right)\\A\phi \\\end{bmatrix}}}$

En los extremos, la superficie es una catenoide ${\displaystyle (\alpha =0)}$ o un helicoide ${\displaystyle (\alpha =\pi /2)}$. De lo contrario, ${\displaystyle \alpha }$ representa un ángulo de la mezcla. La superficie resultante, con un dominio elegido para evitar la autointersección, es una catenaria que gira alrededor del eje ${\displaystyle \mathbf {X} _{3}}$ de forma helicoidal.

Se puede reescribir cada elemento de la segunda matriz fundamental en función de ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$, por ejemplo

${\displaystyle \mathbf {X_{uu}} \cdot \mathbf {\hat {n}} ={\frac {1}{|g|^{2}+1}}{\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \left((1-g^{2})f'-2gfg'\right)\\\operatorname {Re} \left((1+g^{2})f'i+2gfg'i\right)\\\operatorname {Re} \left(2gf'+2fg'\right)\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \left(2g\right)\\\operatorname {Re} \left(-2gi\right)\\\operatorname {Re} \left(|g|^{2}-1\right)\\\end{bmatrix}}=-2\operatorname {Re} (fg')}$

Y en consecuencia, la segunda matriz de forma fundamental se puede simplificar como

${\displaystyle {\begin{bmatrix}-\operatorname {Re} fg'&\;\;\operatorname {Im} fg'\\\operatorname {Im} fg'&\;\;\operatorname {Re} fg'\end{bmatrix}}}$

Uno de sus vectores propios es ${\displaystyle {\overline {\sqrt {fg'}}}}$, que representa la dirección principal en el dominio complejo.^[6]​ Por lo tanto, las dos direcciones principales en el espacio ${\displaystyle uv}$ resultan ser

${\displaystyle \phi =-{\frac {1}{2}}\operatorname {Arg} (fg')\pm k\pi /2}$

• Familia asociada
• Superficie de Bryant, genetada mediante una parametrización análoga en un espacio hiperbólico