En geometría plana, se denomina polígono regular a un polígono cuyos lados y ángulos interiores son iguales entre sí. Los polígonos regulares de tres y cuatro lados se denominan triángulo equilátero y cuadrado, respectivamente. Para polígonos de más lados, se añade el adjetivo regular (pentágono regular, hexágono regular, octágono regular, etc). Solo algunos polígonos regulares pueden ser construidos con regla y compás.^[1]​

• Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono.
• Vértice, V: punto común de cualquiera de los dos lados consecutivos.
• Centro, C: el punto interior equidistante de todos los vértices y de los lados.
• Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices.
• Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, desde el centro del polígono.
• Diagonal, d: segmento que une dos vértices no continuos.
• Perímetro, P: es la suma de la longitud de todos sus lados .
• Semiperímetro, p: es la mitad del perímetro.
• Sagita, S': parte del radio comprendida entre el punto medio del lado y el arco de circunferencia. La suma de la apotema: a más la sagita: S, es igual al radio: r.

• Los polígonos regulares son polígonos equiláteros, puesto que todos sus lados son de la misma longitud.

• Todos los ángulos centrales de un polígono regular son congruentes y su medida α puede obtenerse a partir del número de lados n del polígono como sigue:

${\displaystyle \alpha ={\frac {360^{\circ }}{n}}\;}$ en grados sexagesimales

${\displaystyle \alpha ={\frac {2\pi }{n}}\;}$ en radianes

• El ángulo interior, ${\displaystyle \beta \,}$, de un polígono regular mide:

${\displaystyle \beta =180^{\circ }\cdot {\frac {(n-2)}{n}}\;}$ en grados sexagesimales

${\displaystyle \beta =\pi \cdot {\frac {(n-2)}{n}}\;}$ en radianes

• La suma de los ángulos interiores, ${\displaystyle \sum \beta \;}$, de un polígono regular es de:

${\displaystyle \sum \beta =180^{\circ }\cdot {(n-2)}\;}$ en grados sexagesimales

${\displaystyle \sum \beta =\pi \cdot {(n-2)}\;}$ en radianes

• El ángulo exterior, ${\displaystyle \gamma \;}$, de un polígono regular es de:

${\displaystyle \gamma =180^{\circ }-\beta ={\frac {360^{\circ }}{n}}\;}$ en grados sexagesimales

${\displaystyle \gamma =\pi -\beta ={\frac {2\pi }{n}}\;}$ en radianes

• La suma de los ángulos exteriores, ${\displaystyle \sum \gamma \,}$, de un polígono regular es:

${\displaystyle \sum \gamma =360^{\circ }\;}$ en grados sexagesimales

${\displaystyle \sum \gamma =2\pi \;}$ en radianes

Triángulo equilátero (3)	Cuadrado (4)	Pentágono (5)	Hexágono (6)

Heptágono (7)	Octágono (8)	Eneágono (9)	Decágono (10)

Undecágono (11)	Dodecágono (12)	Tridecágono (13)	Tetradecágono (14)

Observación: A medida que crece el número de lados de un polígono regular, se asemeja más a una circunferencia.

Existen diversas fórmulas para calcular el área de un polígono regular, dependiendo de los elementos conocidos.

El área de un polígono regular, conociendo el perímetro y la apotema es:

${\displaystyle A={\frac {P\cdot a}{2}}}$

O de otro modo

${\displaystyle A=a\cdot p}$

el área es igual al producto de apotema: a por semiperímetro: p.

Sabiendo que:

${\displaystyle A_{p}={\frac {L\cdot n\cdot a}{2}}}$

Además ${\displaystyle \delta ={\frac {\pi }{n}}\ }$, ya que es la mitad de un ángulo central (esto en radianes).

Observando la imagen, es posible deducir que:

${\displaystyle L=2\cdot a\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$

Sustituyendo el lado:

${\displaystyle A_{p}={\frac {\left(2\cdot a\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)\right)\cdot n\cdot a}{2}}}$

Finalmente:

${\displaystyle A_{p}=a^{2}\cdot n\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$

Con esta fórmula se puede averiguar el área con el número de lados y la apotema, sin necesidad de recurrir al perímetro.

Un polígono queda perfectamente definido por su número de lados n, y el radio r, por tanto podemos determinar cual es su área, a la vista de la figura, tenemos que:

${\displaystyle L=2r\sin({\delta })\;}$

${\displaystyle a=r\cos({\delta })\;}$

donde el ángulo central es:

${\displaystyle \alpha =2\delta ={\frac {2\pi }{n}}\;}$

sabiendo que el área de un polígono es:

${\displaystyle A_{p}={\frac {L\cdot n\cdot a}{2}}\;}$

y sustituyendo el valor del lado y la apotema calculados antes, tenemos:

${\displaystyle A_{p}={\frac {2r\sin({\delta })\cdot n\cdot r\cos({\delta })}{2}}\;}$

ordenando tenemos:

${\displaystyle A_{p}={\frac {nr^{2}\cdot 2\sin({\delta })\cos({\delta })}{2}}\;}$

sabiendo que:

${\displaystyle 2\sin({\delta })\cos({\delta })=\sin({2\delta })\;}$

resulta:

${\displaystyle A_{p}={\frac {nr^{2}\sin({\alpha })}{2}}\;}$

o lo que es lo mismo:

${\displaystyle A_{p}={\frac {nr^{2}\sin({\frac {2\pi }{n}})}{2}}\;}$

Con esta expresión podemos calcular el área del polígono, conociendo solamente el número de lados y su radio, lo que resulta útil en muchos casos.

si queremos expresar el área en función del lado, podemos calcularlo de la siguiente manera:

${\displaystyle A_{p}=n\cdot {\frac {L\cdot a}{2}}}$

Sea ${\displaystyle \varphi }$ el ángulo formado por el Lado "L" y el radio "r":

${\displaystyle \varphi ={\frac {\pi -\alpha }{2}}\ ={\frac {\pi -{\frac {2\pi }{n}}}{2}}\ ={\frac {\pi }{2}}\;{\frac {(n-2)}{n}}}$

El valor de la apotema en función del lado será, por la definición de la tangente:

${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {a}{\frac {L}{2}}}={\frac {2a}{L}}}$

Despejando la apotema tenemos:

${\displaystyle a={\frac {L\cdot \tan \varphi }{2}}}$

Sustituimos la apotema por su valor:

${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}A_{p}=n\cdot {\cfrac {L\cdot a}{2}}\\\\a={\cfrac {L\cdot \tan \varphi }{2}}\\\\\varphi ={\cfrac {\pi }{2}}\;{\cfrac {(n-2)}{n}}\end{array}}\right\}\quad \longrightarrow \quad A_{p}=n\cdot {\cfrac {L^{2}}{4}}\cdot \tan \left({\cfrac {\pi }{2}}\;{\cfrac {(n-2)}{n}}\right)}$

Se puede ver en el dibujo que ${\displaystyle \tan(\delta )={\frac {1}{\tan(\varphi )}}}$ y la fórmula puede escribirse también como ${\displaystyle A_{p}={\frac {n\cdot L^{2}}{4\cdot \tan \left({\frac {180^{o}}{n}}\right)}}}$.

Con lo que conociendo el número de lados del polígono regular y la longitud del lado podemos calcular su superficie.

La apotema, ${\displaystyle a}$, de un polígono regular de ${\displaystyle n}$ lados de longitud ${\displaystyle L}$ viene dada por

${\displaystyle a={\frac {L}{2\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}}$^[2]​

O bien, en función del circunradio, ${\displaystyle R}$,

${\displaystyle a=R\cdot \cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$^[2]​

La sagita, ${\displaystyle s}$, de un polígono regular de ${\displaystyle n}$ lados de longitud ${\displaystyle L}$ viene dada por

${\displaystyle s={\frac {L}{\sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\pi }{2n}}\right)}$^[2]​

O bien, en función del circunradio,

${\displaystyle s=2\cdot R\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\pi }{2n}}\right)}$^[2]​

Para determinar el número de diagonales Nd, de un polígono de n vértices realizaremos el siguiente razonamiento:

• De un vértice cualquiera partirán (n – 3) diagonales, donde n es el número de vértices, dado que no hay ningún diagonal que le una consigo mismo ni con ninguno de los dos vértices contiguos.
• Esto es válido para los n vértices del polígono.
• Una diagonal une dos vértices, por lo que aplicando el razonamiento anterior tendríamos el doble de diagonales de las existentes.

Según el razonamiento tendremos que:

${\displaystyle N_{d}={\frac {n(n-3)}{2}}}$

La diagonal más pequeña de un polígono regular es la que une dos vértices alternos, para determinar su longitud, partimos del ángulos central y del radio, el radio que pasa por el vértice intermedio, corta a la diagonal en el punto A, este radio y la diagonal son perpendiculares en A.

Esto es el triángulo VAC es rectángulo en A, por tanto:

${\displaystyle \sin({\alpha })={\frac {\frac {d}{2}}{r}}}$

que resulta:

${\displaystyle \sin({\alpha })={\frac {d}{2r}}}$

de donde deducimos que:

${\displaystyle d=2r\sin({\alpha })\,}$

Sabiendo el valor del ángulo central:

${\displaystyle d=2r\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)}$

La diagonal más pequeña de un polígono regular, solo depende del radio y del número de lados, siendo tanto mayor cuanto mayor sea el radio y disminuyendo de longitud cuando aumenta el número de lados del polígono.

En general la longitud de las diagonales de un polígono regular viene dada por la relación de recurrencia

${\displaystyle d_{k}^{2}=L^{2}+d_{k-1}^{2}+2\cdot L\cdot d_{k-1}\cdot \cos {\left({\frac {k+1}{n}}\pi \right)}}$

${\displaystyle L=2\cdot r\cdot \sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}$

${\displaystyle d_{1}=4\cdot r\cdot \sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot \cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)=2\cdot r\cdot \sin \left({\frac {2\cdot \pi }{n}}\right)}$

${\displaystyle d_{2}=2\cdot r\cdot \sin \left({\frac {\pi }{n}}\right){\sqrt {1+4\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)+4\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cos \left({\frac {3\cdot \pi }{n}}\right)}}}$

${\displaystyle d_{3}^{2}=4\cdot r^{2}\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)\left(2+4\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)+4\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cos \left({\frac {3\cdot \pi }{n}}\right)+2{\sqrt {1+4\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)+4\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cos \left({\frac {3\cdot \pi }{n}}\right)}}\cos \left({\frac {4\cdot \pi }{n}}\right)\right)}$

${\displaystyle ...}$

${\displaystyle d_{k}=r\cdot {\sqrt {2\left(1-\cos \left({\frac {2\left(k+1\right)\pi }{n}}\right)\right)}}}$

${\displaystyle d_{k}=2\cdot r\cdot \sin \left({\frac {\left(k+1\right)\pi }{n}}\right)}$

En una circunferencia de radio establecido, puede construirse un polígono regular inscrito y circunscrito con n lados a regla y compás en algunos casos de polígonos, y se utilizan softwares CAD para mayor precisión. Tomando como referencia el segundo teorema de Tales y el teorema de Pitágoras, es posible relacionar todos los parámetros de un polígono regular sea inscrito y circunscrito con un triángulo rectángulo. Esto se cumple cuando el ángulo theta opuesto al lado del polígono inscrito o circunscrito, cumple con el siguiente criterio: θ = 180°/n , siendo n el número de lados del polígono y debe ser un número entero mayor que 2.

• Figuras geométricas
• Polígono
• Polígono equilátero
• Estrella (figura geométrica)
• Regla y compás
• Trigonometría

1. Echegaray, José (2001). Geometría: ángulos, polígonos y circunferencias (1 edición). Editorial Bruño. p. 32. ISBN 978-84-216-4219-1. 
2. Equipo: Rosalía de Castro (2000). Geometría, polígonos, circunferencia y círculo (1 edición). Editorial Acueducto, S.L. p. 32. ISBN 978-84-95523-32-7. 
3. Geometría, polígonos, circunferencia y círculo, Educación Primaria (1 edición). Editorial Escudo, S.L. 1997. p. 32. ISBN 978-84-89833-36-4. 

• Polígono regular Archivado el 11 de junio de 2017 en Wayback Machine.