Una pseudoesfera es la superficie de revolución que se obtiene girando una tractriz alrededor de su asíntota. Es una superficie con curvatura de Gauss constante negativa, lo que implica que cada uno de sus puntos es un punto de silla.

El radio de la circunferencia que resulta de la revolución del vértice de la tractriz (el punto ${\displaystyle P_{0}}$ en la ilustración) se llama radio de la pseudoesfera. Normalmente se considera que la pseudoesfera consta de las dos partes simétricas a un lado y otro de dicha circunferencia, de forma que es una superficie regular salvo en los puntos de la misma.

La motivación del nombre de "pseudoesfera" proviene de ciertas analogías existentes con la esfera de dimensión 2: ésta tiene curvatura constante positiva, mientras que la pseudoesfera tiene curvatura constante negativa. Aunque la pseudoesfera no es una superficie acotada, su área es finita, así como el volumen de la región que encierra. Su área ${\displaystyle A}$, en función del radio ${\displaystyle R}$, es el mismo que el de la esfera del mismo radio y su volumen ${\displaystyle V}$ es la mitad del de la esfera (y pueden calcularse a partir de las fórmulas usuales para superficies de revolución):

${\displaystyle A=4\pi R^{2},\quad V={\frac {2}{3}}\pi R^{3}}$

Dado que la pseudoesfera tiene curvatura constante negativa, es localmente isométrica al plano hiperbólico, y de hecho media pseudoesfera menos una de sus generatrices es isométrica a un abierto del plano hiperbólico. Por este motivo, la pseudoesfera es un modelo útil para visualizar parte de dicho plano como superficie en el espacio euclídeo usual.

Este abierto del plano hiperbólico está bordeado por tres curvas: un trozo de horocírculo y dos geodésicas con extremo común en infinito, como muestra el dibujo. Además, el horodisco que contiene a dicho abierto se puede ver como un recubridor de infinitas hojas de media pseudoesfera.

Teniendo en cuenta que es una superficie de revolución, la pseudoesfera de radio 1 se puede parametrizar por:

(1)${\displaystyle {\begin{cases}x=\operatorname {sech} u\,\cos v\\y=\operatorname {sech} u\,\operatorname {sen} v\\z=u-\operatorname {tanh} u\\\end{cases}}}$

para ${\displaystyle u\in \mathbb {R} ,\ v\in [0,2\pi )}$.

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