![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/10/Algebra1_13_fig009.svg/220px-Algebra1_13_fig009.svg.png)
En matemáticas, la regla de Ruffini facilita el cálculo rápido de la división de cualquier polinomio entre un binomio de la forma . Descrita por Paolo Ruffini en 1816, es un caso especial de «división sintética» (una división de polinomios en donde el divisor es un «factor lineal»).[1] El Algoritmo de Horner para la división de polinomios utiliza la regla de Ruffini (también se la conoce como Método de Horner o Algoritmo de Ruffini-Horner). La regla de Ruffini permite así mismo localizar las raíces de un polinomio y factorizarlo en binomios de la forma (siendo r un número entero) si es coherente.
Historia del método de Ruffini
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/39/Ruffini_paolo_1.1_%28cropped%29.jpg/220px-Ruffini_paolo_1.1_%28cropped%29.jpg)
El método de Ruffini-Horner para la búsqueda de un valor aproximado de la raíz de un polinomio fue publicado, con algunos años de diferencia por Paolo Ruffini (1804-1807-1813) y por William George Horner (1819-1845, póstumamente); al parecer Horner no tenía conocimiento de los trabajos de Ruffini.
El método de Ruffini-Horner es difícilmente explotable si el polinomio posee dos raíces muy cercanas. Ruffini no evoca esta problemática, pero Horner propone un procedimiento especial para estos casos.[2] El método de Horner fue utilizado por los matemáticos De Morgan y J.R. Young.
En tanto que técnica de cambio de variable, históricamente se encuentran algoritmos parecidos; por ejemplo en China, para la extracción de la raíz n-ésima;[3] en la obra de Al Samaw'al (siglo XII).[4] El matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi (siglo XII) fue uno de los primeros en aplicarlo al caso general de una ecuación de tercer grado.[5]
Algoritmo resuelto con el método de Ruffini
La regla de Ruffini establece un método para la división del polinomio:
entre el binomio:
para obtener el cociente:
y el resto:
- 1. Se trazan dos líneas a manera de ejes y se escriben los coeficientes de P(x), ordenados y sin omitir términos nulos. Se escribe la raíz r del lado izquierdo (invirtiendo el signo de este) y el primer coeficiente en el renglón inferior (an):
- 2. Se multiplica (an) por r y se escribe debajo de an-1:
- 3. Se suman los dos valores obtenidos en la misma columna:
- 4. El proceso se repite:
Los valores b son los coeficientes del polinomio resultante de grado uno menos que el grado de . El residuo es
Ejemplo 1
División de
entre
utilizando la regla de Ruffini.
1. Se escribe y el primer coeficiente (2) en el primer renglón:
2. Multiplicando por la raíz r=(-1):
3. Sumando la columna:
4. El procedimiento se repite hasta obtener el residuo:
Si el polinomio original = divisor×cociente+resto, entonces
- , donde
- y
Ejemplo 2
Cuando el resto es igual a 0; permite factorizar, como en el siguiente ejemplo:
Tomamos
Usamos el método, y nos queda así:
Entonces F(x) se factoriza
Ejemplo 3
División por polinomio con coeficientes complejos:
Tomamos
Usamos el método, y nos queda así:
Encontrar raíces
Si es un polinomio con coeficientes enteros y con a0 y an distintos de cero, entonces por el teorema de la raíz racional, todas las raíces racionales reales serán de la forma p/q, donde p es un entero divisor de a0 y q es un entero divisor de an. Así por ejemplo, si el polinomio es
entonces las posibles raíces racionales son todos los enteros divisores de a0 (−2):
Esto es de utilidad para poder factorizar un polinomio (en caso de ser factorizable) de coeficientes enteros, usando los divisores del término independiente.
Véase también
Referencias
- ↑ *Weisstein, Eric W. «Regla de Ruffini». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
- ↑ Florian Cajori, Horner's method of approximation anticipated by Ruffini, American Mathematical Society, 21 novembre 1910.
- ↑ Los nueve capítulos del arte matemático, ChemlaShuchun, cap.4
- ↑ Hélène Bellosta, À propos de l'histoire des sciences arabes Archivado el 16 de noviembre de 2006 en Wayback Machine., Gazette des mathématiciens, n°82, Octobre 1999.
- ↑ J. L. Berggren (1990). "Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat", Journal of the American Oriental Society 110 (2), p. 304-309.
Bibliografía
- Cámara Sánchez, Ángeles (2007). «Operaciones con polinomios». Curso básico de matemática y estadística: del bachillerato al grado. España: Delta. pp. 64,65.
- Stapel, Elizabeth. «Synthetic Division: The Process». Purplemath (en inglés). Consultado el 30 de noviembre de 2011.
Enlaces externos
- Ejemplos y ejercicios de la Regla de Ruffini en: Ejercicios de matemáticas
- Ejemplos y ejercicios de la Regla de Ruffini en: Vitutor
- Ejemplos y ejercicios de la Regla de Ruffini en: Matesfacil