En matemáticas, concretamente en topología algebraica, el teorema de Seifert–van Kampen, a veces conocido simplemente como el teorema de van Kampen, es un teorema que permite expresar la estructura del grupo fundamental de un espacio topológico ${\displaystyle X}$ a partir de los grupos fundamentales de dos subespacios abiertos y conexos por caminos que recubren a ${\displaystyle X}$. Se emplea por tanto para obtener el grupo fundamental de espacios construibles a partir de espacios más sencillos.

Sea ${\displaystyle X}$ un espacio topológico, ${\displaystyle X=U_{1}\cup U_{2}}$, con ${\displaystyle U_{1},U_{2}}$ subconjuntos abiertos y conexos por caminos, tales que ${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}\neq \varnothing }$ también es conexo por caminos. Sea ${\displaystyle x_{0}\in U_{1}\cap U_{2}}$.

Supongamos que conocemos los grupos fundamentales

${\displaystyle \pi _{1}(U_{1},x_{0})=\langle S_{1};R_{1}\rangle \,}$,

${\displaystyle \pi _{1}(U_{2},x_{0})=\langle S_{2};R_{2}\rangle \,}$ y

${\displaystyle \pi _{1}(U_{1}\cap U_{2},x_{0})=\langle S;R\rangle }$.

Entonces, ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})=\langle S_{1}\cup S_{2};R_{1}\cup R_{2}\cup \{(i_{1})_{*}(s)((i_{2})_{*}(s))^{-1}|s\in S\}\rangle }$, donde,
si ${\displaystyle i_{1}:U_{1}\cap U_{2}\rightarrow U_{1}}$ y ${\displaystyle i_{2}:U_{1}\cap U_{2}\rightarrow U_{2}}$ son las inclusiones naturales,
entonces ${\displaystyle (i_{1})_{*}}$ y ${\displaystyle (i_{2})_{*}}$ son las aplicaciones inducidas tales que

${\displaystyle (i_{1})_{*}:\pi _{1}(U_{1}\cap U_{2},x_{0})\rightarrow \pi _{1}(U_{1},x_{0})}$ que actúa ${\displaystyle [\alpha ]\rightarrow (i_{1})_{*}([\alpha ]):=[i_{1}\circ \alpha ]}$,

y análogamente

${\displaystyle (i_{2})_{*}:\pi _{1}(U_{1}\cap U_{2},x_{0})\rightarrow \pi _{1}(U_{2},x_{0})}$ que actúa ${\displaystyle [\alpha ]\rightarrow (i_{2})_{*}([\alpha ]):=[i_{2}\circ \alpha ]}$.

• Grupoide

• Allen Hatcher, Algebraic topology. (2002) Cambridge University Press, Cambridge, xii+544 pp. ISBN 0-521-79160-X and ISBN 0-521-79540-0
• Peter May, A Concise Course in Algebraic Topology. (1999) University of Chicago Press, ISBN 0-226-51183-9 (Section 2.7 provides a category-theoretic presentation of the theorem as a colimit in the category of groupoids).

• Van Kampen's theorem result en PlanetMath.