En álgebra abstracta, para un número de estructuras algebraicas, el teorema fundamental de homomorfismos relaciona la estructura de dos objetos entre los cuales se dé un homomorfismo, y del núcleo y de la imagen del homomorfismo...

En la teoría de grupos, el teorema se puede formular así:

Si ${\displaystyle f:G\longrightarrow H}$ es un homomorfismo de grupos y ${\displaystyle N}$ es un subgrupo normal de ${\displaystyle G}$ contenido en el núcleo de ${\displaystyle f}$, entonces existe un único homomorfismo ${\displaystyle {\bar {f}}}$ tal que ${\displaystyle {\bar {f}}\circ \varphi =f}$, en donde ${\displaystyle \varphi :G\longrightarrow G/N}$ es la proyección canónica. Así, tenemos el diagrama conmutativo siguiente

El homomorfismo ${\displaystyle {\bar {f}}}$ está dado por

${\displaystyle {\bar {f}}(gN)=f(g)}$

para todo ${\displaystyle g}$ de ${\displaystyle G}$, y se dice que ${\displaystyle {\bar {f}}}$ es inducido por ${\displaystyle f\,\!}$. Nótese que si ${\displaystyle gN=hN}$, entonces ${\displaystyle gh^{-1}\in N\subset \ker f}$, por lo que ${\displaystyle 1=f(gh^{-1})=f(g)f(h)^{-1}}$, así que ${\displaystyle f(g)=f(h)}$ y el homomorfismo ${\displaystyle {\bar {f}}}$ está bien definido.

El núcleo de este homomorfismo es ${\displaystyle \ker {\bar {f}}=(\ker f/N)}$, y es un epimorfismo si y solo si ${\displaystyle f}$ lo es.

Si ${\displaystyle f:G\longrightarrow H}$ es un homomorfismo, entonces ${\displaystyle f:G\longrightarrow \mathrm {im} \,f}$ es un epimorfismo, y puesto que ${\displaystyle {\bar {f}}}$ es inyectivo cuando su núcleo ${\displaystyle \ker {\bar {f}}=\ker f/N}$ es trivial, lo que sucede si y solo si ${\displaystyle \ker f=N}$, tenemos un isomorfismo ${\displaystyle G/\ker f\simeq \mathrm {im} \,f}$. Este caso particular del teorema fundamental de homomorfismos se conoce como primer teorema de isomorfía.

El teorema fundamental de homomorfismos también se cumple para los espacios vectoriales, anillos y módulos tomando, respectivamente, ideales y submódulos en lugar de subgrupos normales.

• Homomorfismo de anillos
• Homomorfismo de grupos
• Homomorfismo

Puede verse una demostración de este teorema en el wikilibro de Álgebra, Subgrupos normales.

1. Hungerford, T. Algebra. (1974) Springer-Verlag, New York.