• Cualquier número entero puede reescribirse separando las unidades del resto de cifras de la siguiente forma:

${\displaystyle n=10a+b,\ con\ a,b\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle e.g.\ n=4132=413\times 10+2}$

• Cualquier número par puede representarse como el producto de 2 por otro número entero (dado que cuenta con al menos un 2 en su descomposición factorial, siempre se puede sacar como factor común):

${\displaystyle p=2k,\ con\ k\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle e.g.\ p=36=2\times 18}$

• Cualquier número impar puede representarse como el consecutivo de un número par (al restarle una unidad, quedará un número par, que al tener al menos un 2 en su descomposición factorial, podrá a su vez sacarse como factor común):

${\displaystyle q=2k+1,\ con\ k\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle e.g.\ q=37=2\times 18+1}$

• El producto de cualquier número entero por un número par será par (al contar con al menos con un 2 en su descomposición factorial aportado por el factor par):

${\displaystyle pn=2kn=2(kn),\ con\ k\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle e.g.\ 16\times 33=528,\quad 34\times 16=544}$

• El producto de dos números impares será impar (al no contar con ningún 2 en su descomposición factorial):

${\displaystyle i_{1}i_{2}=(2k_{1}+1)(2k_{2}+1)=4k_{1}k_{2}+2k_{1}+2k_{2}+1=2(2k_{1}k_{2}+k_{1}+k_{2})+1,\ con\ k_{1},k_{2}\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle e.g.\ 57\times 13=741}$

• La suma de un número par no cambia la paridad del número entero original:

${\displaystyle n_{p}+p=2k_{1}+2k_{2}=2(k_{1}+k_{2}),\ con\ k_{1},k_{2}\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle n_{i}+p=(2k_{1}+1)+2k_{2}=2(k_{1}+k_{2})+1,\ con\ k_{1},k_{2}\in \mathbb {Z} }$ç

${\displaystyle e.g.\ 12+304=316,\quad 623+52=675}$

• La suma de un número impar sí cambia la paridad del número entero original:

${\displaystyle n_{p}+i=2k_{1}+2k_{2}+1=2(k_{1}+k_{2})+1,\ con\ k_{1},k_{2}\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle n_{i}+i=(2k_{1}+1)+(2k_{2}+1)=2(k_{1}+k_{2}+1),\ con\ k_{1},k_{2}\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle e.g.\ 212+3=215,\quad 23+17=40}$

Teniendo en cuenta lo anteriormente expuesto, se puede proceder a demostrar las propiedades enumeradas más arriba:

• Dado un entero acabado en 0 (${\displaystyle n=10a}$), su cuadrado acaba en 00 y los dígitos precedentes forman un cuadrado:

${\displaystyle n^{2}=(10a)^{2}=100a^{2}}$

${\displaystyle e.g.\ a=3\rightarrow 30^{2}=900}$

• Dado un entero acabado en 1 o 9 (${\displaystyle n_{1}=10a+1;\ n_{2}=10a+9}$), su cuadrado termina en 1 y los dígitos precedentes forman un múltiplo de 4:

${\displaystyle n_{1}^{2}=(10a+1)^{2}=100a^{2}+20a+1=10(10a^{2}+2a)+1=10(2(a(5a+1)))+1}$

Si ${\displaystyle a(5a+1)}$ fuese par, ${\displaystyle 2(a(5a+1))=2(2k)=4k}$, quedando demostrado que es múltiplo de 4. Si ${\displaystyle a}$ es par, entonces ${\displaystyle 5a+1}$ será impar, y viceversa. Por lo que el resultado siempre será un número par por tratarse de un producto por un número par.

${\displaystyle e.g.\ a=2\rightarrow 21^{2}=441=(4\times 22)\times 10+1}$

${\displaystyle n_{2}^{2}=(10a+9)^{2}=100a^{2}+180a+81=10(10a^{2}+18a+8)+1=10(2(5a^{2}+9a+4))+1=10(2(a(5a+9)+4))+1}$

De modo similar al caso anterior, si ${\displaystyle (5a^{2}+9a+4)}$ fuera par, ${\displaystyle 2(5a^{2}+9a+4)=2(2k)=4k}$, quedando demostrado que es múltiplo de 4. Si ${\displaystyle a}$ es par, entonces tanto ${\displaystyle 5a^{2}}$ como ${\displaystyle 9a}$ serían pares por tratarse de productos con un número par, y ${\displaystyle (5a^{2}+9a+4)}$ sería la suma de tres número pares, por lo tanto su resultado sería par. Si ${\displaystyle a}$ es impar, tanto ${\displaystyle 5a^{2}}$ como ${\displaystyle 9a}$ serían impares por tratarse de productos entre número impares, por lo que ${\displaystyle (5a^{2}+9a)}$ sería la suma de dos números impares, lo que sería un número par, al que se sumaría 4, otro número par que no cambiaría la paridad par de la suma total. De modo que el resultado en ambas situaciones se obtendría el número par que confirma que se trata de un múltiplo de 4.

${\displaystyle e.g.\ a=2\rightarrow 29^{2}=841=(4\times 21)\times 10+1}$

• Dado un entero acabado en 2 u 8 (${\displaystyle n_{1}=10a+2;\ n_{2}=10a+8}$), su cuadrado termina en 4 y los dígitos precedentes forman un número par:

${\displaystyle n_{1}^{2}=(10a+2)^{2}=100a^{2}+40a+4=10(10a^{2}+4a)+4=10(2(5a^{2}+2a))+4}$

${\displaystyle e.g.\ a=7\rightarrow 72^{2}=5184=(2\times 259)\times 10+4}$

${\displaystyle n_{2}^{2}=(10a+8)^{2}=100a^{2}+160a+64=10(10a^{2}+16a+6)+4=10(2(5a^{2}+8a+3))+4}$

${\displaystyle e.g.\ a=7\rightarrow 78^{2}=6084=(2\times 304)\times 10+4}$

• Dado un entero acabado en 3 o 7 (${\displaystyle n_{1}=10a+3;\ n_{2}=10a+7}$), su cuadrado termina en 9 y los dígitos precedentes forman un múltiplo de 4:

${\displaystyle n_{1}^{2}=(10a+3)^{2}=100a^{2}+60a+9=10(10a^{2}+6a)+9=10(2(5a^{2}+3a))+9}$

De forma similar a las vistas anteriormente, si ${\displaystyle a(5a^{2}+3a)}$ fuese par, ${\displaystyle 2(5a^{2}+3)=2(2k)=4k}$, quedando demostrado que es múltiplo de 4. Si ${\displaystyle a}$ es par, entonces ${\displaystyle 5a^{2}+3a}$ será la suma de dos números pares, que da un número par. Si ${\displaystyle a}$ es un número impar, ${\displaystyle 5a^{2}+3a}$ será la suma de dos números impares, que da un número par. Por lo que el resultado final siempre será un múltiplo de 4.

${\displaystyle a=5\rightarrow 53^{2}=2809=(4\times 70)\times 10+9}$

${\displaystyle n_{2}^{2}=(10a+7)^{2}=100a^{2}+140a+49=10(10a^{2}+14a+4)+9=10(2(5a^{2}+7a+2))+9}$

Igualmente, si ${\displaystyle a(5a^{2}+7a+2)}$ fuese par, ${\displaystyle 2(5a^{2}+7a+2)=2(2k)=4k}$, quedando demostrado que es múltiplo de 4. Si ${\displaystyle a}$ es par, entonces ${\displaystyle 5a^{2}+7a+3}$ será la suma de tres números pares, que da un número par. Si ${\displaystyle a}$ es un número impar, ${\displaystyle 5a^{2}+7a}$ será la suma de dos números impares, que da un número par, y a este se sumaría otro número par que no cambiaría la paridad del resultado. Por lo que nuevamente se comprueba que al final se obtendrá un múltiplo de 4.

${\displaystyle e.g.\ a=5\rightarrow 57^{2}=3249=(4\times 81)\times 10+9}$

• Dado un entero acabado en 4 o 6 (${\displaystyle n_{1}=10a+4;\ n_{2}=10a+6}$), su cuadrado termina en 6 y los dígitos precedentes forman un número impar:

${\displaystyle n_{1}^{2}=(10a+4)^{2}=100a^{2}+80a+16=10(10a^{2}+8a+1)+6=10(2(5a^{2}+4a)+1)+6}$

${\displaystyle e.g.\ a=4\rightarrow 44^{2}=1936=(2\times 81+1)\times 10+6}$

${\displaystyle n_{2}^{2}=(10a+6)^{2}=100a^{2}+120a+36=10(10a^{2}+12a+3)+6=10(2(5a^{2}+6a+1)+1)+6}$

${\displaystyle e.g.\ a=4\rightarrow 46^{2}=2116=(2\times 105+1)\times 10+6}$

• Dado un entero acabado en 5 (${\displaystyle n=10a+5}$), su cuadrado termina en 25 y los dígitos precedentes forman un número par:

${\displaystyle n^{2}=(10a+5)^{2}=100a^{2}+100a+25=100(a^{2}+a)+25=100(a(a+1))+25}$

Al tratarse el factor ${\displaystyle a(a+1)}$ del producto de un número y su consecutivo, siempre se tratará del producto de un número par por un número impar, cuyo resultado es otro número par.

${\displaystyle e.g.\ a=8\rightarrow 85^{2}=7225=(8\times 9)\times 100+25}$